Terminale S Suites

[Radrad]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire, mais malheureusement je me retrouve coincée à la dernière question et aimerai de l'aide!

On considère la suite (Un) définie par U0=1 et pour tout nombre entier naturel n, Un+1 = 1/3Un+4
On pose pour tout entier naturel n, Vn= Un-6.

a) Pour tout nombre entier naturel n, calculer Vn+1 en fonction de Vn.
J'ai donc fait :
Vn=Un-6 et Un+1= 1/3Un+4
Vn+1= Un+1-6
1/3Un+4-6 = 1/3Un-2 = 1/3 (Vn+6) -2
et Vn+1 donc = 1/3Vn


b) Quelle est la nature de la suite (Vn)?

La suite est géométrique de la forme Vn+1 = q*Vn, avec q raison de la suite.

c) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, Un= -5(1/3)^n+6

Et là je n'y arrive plus, je ne vois pas comment faire. J'ai donné mes réponses aux questions précédentes car cela pourrait peut-être aider? (du moins si elles sont justes)

[Lostounet]

Salut,

Le plus dur est fait!
On sait que V(n+1)=1/3*Vn
Et que V(0)=U(0)-6 = 1-6=-5

Cela signifie qu'on connaît V(n)=-5*(1/3)^n
Qui est la formule du cours qui permet de calculer tout terme d'une suite géométrique.

Mais n'oublie pas que notre but est de trouver Un.

Or Vn=Un-6 pour tout entier n
Donc en fait Un=Vn+6
= -5*(1/3)^n + 6

On a donc trouvé la formule explicite de la suite Un en utilisant une suite "auxiliaire" Vn dont on a rien à foutre. En fait toute la beauté est là: Un n'est pas géométrique ni arithmétique mais on arrive malgré tout à trouver sa formule explicite en introduisant un autre objet ! Une suite Vn qui elle, est plus abordable (et dont on arrive à trouver facilement la formule explicite en utilisant le cours)

[Radrad]

Merci beaucoup!
Je me suis rendue compte qu'en fait, j'inversais la valeur de V(0) avec celle de U(0), c'est pour ça que je ne comprenais pas l'origine du -5...
Bonne soirée.