Terminale S suites et récurrence

[anonyme89]

Bonjour, voilà j'ai un petit problème avec mon exercice de maths, j'aurais donc besoin d'aide!
On rappelle le principe de récurrence:
Théorème 1: Soit P(n) une propriété indéxée par les entiers. Si P(0) est vraie et si pour tout n appartenant à N, P(n) --> P(n+1) alors P(n) est vraie pour tout n appartenant à N.
Il s'agit de démontrer dans ce devoir que ce théorème et équivalent au théorème plus naturel suivant:
Théorème 2: Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

I/ th1 --> th2
L'hypothèse dans cette partie est donc que le théorème un est vrai autrement dit que le principe de récurrence est correct.
Considérons une partie A de N qui n'admet pas de plus petit élément.
1) Montrer par récurrence la propriété P(n): 0,1,2,...,n n'appartiennent pas à A
2) En déduire que A est vide puis le théorème 2.

Pour la question 1) j'ai compris que A est vide puisque comme il n'admet aucun petit élément P(0) est faux donc que P(1), P(2),...ect sont faux aussi mais je ne sais pas comment démontrer ça avec la récurrence. Merci d'avance pour votre aide. :we:

[Monsieur23]

Aloha,

D'abord, on montre P(0), c'est-à-dire que 0 n'est pas dans A. Pourquoi est-ce impossible qu'il y soit?

Ensuite, l'hérédité : on prend un entier n, et on suppose P(n) (donc que 0,1,…,n ne sont pas dans A).
On veut montrer que P(n+1) (donc que 0,1,…,n,n+1 ne sont pas dans A).
Pour 0,1,…,n, on le sait déjà.
Ensuite, sachant ça, pourquoi n+1 n'y est pas non plus ?

[anonyme89]

Tout d'abord merci de votre réponse.
C'est impossible que 0 soit dans A puisque A n'admet pas de plus petit élément. :we:

Hérédité: je ne vois pas trop comment montrer que n+1 n'est pas dans A :triste: