Terminale ES, Matrice.

[Dosu]

Bon voilà j'ai un DM à faire en Spé maths, j'ai fais les 3 premiers exercices, mais le dernier rien à faire je n'y arrive pas :/
Alors si vous pouviez me donner des pistes et m'expliquer, ce serait sympas.



Merci d'avance.

( clickez sur l'image pour l'agrandir)

Voilà ce que j'ai fais pour la a)

A^-1( A²-A-2In) = A^-1

A² * A^-1 - A*A^-1 -2In*A^-1 = A^-1
I étant la matrice identitée, 2In x A^-1 = 2A^-1
Par définition A*A^-1 = A^-1*A = I

Donc

A- In - 2A^-1 = A^-1
A - In = 3A^-1
1/3A - 1/3In = A^-1

Mais je crois que c'est faux :/

et les deux autres questions, je suis bloqué :/

[Carpate]

Bon voilà j'ai un DM à faire en Spé maths, j'ai fais les 3 premiers exercices, mais le dernier rien à faire je n'y arrive pas :/
Alors si vous pouviez me donner des pistes et m'expliquer, ce serait sympas.



Merci d'avance.

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Voilà ce que j'ai fais pour la a)

A^-1( A²-A-2In) = A^-1

A² * A^-1 - A*A^-1 -2In*A^-1 = A^-1
I étant la matrice identitée, 2In x A^-1 = 2A^-1
Par définition A*A^-1 = A^-1*A = I

Donc

A- In - 2A^-1 = A^-1
A - In = 3A^-1
1/3A - 1/3In = A^-1

Mais je crois que c'est faux :/

et les deux autres questions, je suis bloqué :/

Rappel

[capitaine nuggets]

Salut !

Bon voilà j'ai un DM à faire en Spé maths, j'ai fais les 3 premiers exercices, mais le dernier rien à faire je n'y arrive pas :/
Alors si vous pouviez me donner des pistes et m'expliquer, ce serait sympas.



Merci d'avance.

( clickez sur l'image pour l'agrandir)

Voilà ce que j'ai fais pour la a)

A^-1( A²-A-2In) = A^-1

A² * A^-1 - A*A^-1 -2In*A^-1 = A^-1
I étant la matrice identitée, 2In x A^-1 = 2A^-1
Par définition A*A^-1 = A^-1*A = I

Donc

A- In - 2A^-1 = A^-1
A - In = 3A^-1
1/3A - 1/3In = A^-1

Mais je crois que c'est faux :/

et les deux autres questions, je suis bloqué :/

Ta première proposition est fausse.
En prenant et en multipliant membre par la gauche par , on a :
.
Le produit matriciel est distributif, mais pas commutatif et quel que soit la matrice , donc :
.
Or est l'inverse de donc et par associativité du produit matriciel .
De plus, pour toute matrice , donc on en déduit que :
d'où :+++:

Rappels :
En général, ;
donc

quel que soit la matrice ,
quel que soit la matrice ,

[capitaine nuggets]

2°/ Commence tranquillement : .
Tu dois sans doute savoir que pour deux réels et , , mais ce n'est pas vrai pour les matrices.
Pour et deux matrices, (le produit matriciel n'est pas commutatif de manière générale : )
Or on est dans un cas particulier où ; toutes les matrices "commutent" avec (quel que soit , ) donc .
Donc en particulier, pour , (avec ).

Enfin, après avoir développé et en fonction de , et , remplace par ce qu'il vaut d'après l'égalité .

3°/ L'addition se fait comme pour des nombres.
Les produits et se font également comme si tu manipulais des nombres car les produits qui apparaîtront commutent.
On pourrais même dire d'avance, sachant cela, que mais on veux des faire calculs donc faisons-les :+++:

[Dosu]

Et bien je vous remercie beaucoup, excellentes explications.
J'ai finis la a) et la b), je vais m'attaquer au c)
Mais pour Pq et QP vous dites que PQ = QP, mon frère m'a dit que :

pour calculer PQ et QP on fait un des deux calculs mais pas besoin de faire les deux car :
(P+Q)²=I² d'une part, et d'autre part (P+Q)²=P²+PQ+QP+Q²=P+PQ+QP+Q²=I+PQ+QP
Donc I = I + PQ + QP, donc PQ = - QP

et non PQ= QP

[capitaine nuggets]

Et bien je vous remercie beaucoup, excellentes explications.
J'ai finis la a) et la b), je vais m'attaquer au c)
Mais pour Pq et QP vous dites que PQ = QP, mon frère m'a dit que :

pour calculer PQ et QP on fait un des deux calculs mais pas besoin de faire les deux car :
(P+Q)²=I² d'une part, et d'autre part (P+Q)²=P²+PQ+QP+Q²=P+PQ+QP+Q²=I+PQ+QP
Donc I = I + PQ + QP, donc PQ = - QP

et non PQ= QP

Oui, c'est vrai.
Mais quelle que soit le méthode, il faut au moins calculer PQ pour obtenir QP.
Au pire, calcule PQ et tu verras pourquoi nos deux méthodes fonctionnent, c'est-à-dire pourquoi on a simultanément PQ = QP et PQ = -QP.

Il est vrai que l'exercice suggérerais la méthode de ton frère mais pour ma part, j'aurai calculé PQ puis comme les matrices A et commutent (puisqu'on a que des produits avec A et , j'en aurais déduit que PQ=QP (ça évite des calculs quoi ^^).
Mais quand tu calculeras PQ, tu verras pourquoi peu importe PQ ou QP :+++:

[capitaine nuggets]

Oui, c'est vrai.
Mais quelle que soit le méthode, il faut au moins calculer PQ pour obtenir QP.
Au pire, calcule PQ et tu verras pourquoi nos deux méthodes fonctionnent, c'est-à-dire pourquoi on a simultanément PQ = QP et PQ = -QP.

Il est vrai que l'exercice suggérerais la méthode de ton frère mais pour ma part, j'aurai calculé PQ puis comme les matrices A et commutent (puisqu'on a que des produits avec A et , j'en aurais déduit que PQ=QP (ça évite des calculs quoi ^^).
Mais quand tu calculeras PQ, tu verras pourquoi peu importe PQ ou QP :+++:

On pourrait même combiner nos deux méthodes :

En supposant qu'on a montré que et , on en déduit, en sommant les deux égalités, que donc que et par conséquent .

On obtient le résultat sans calculer ou , mais il faut penser à développer si cela n'est pas dit/demandé et rajouter que l'argument de commutativité entre les matrices et .

:++: