Terminale, Maths spe, PGCD

[ferdo]

Bonjour, voici l'énoncé de l'exercice

Le PGCD des entiers a et b est égal à d.
Calculer le PGCD des entiers suivants :
a) 7a+4b et 9a+5b
b) pa+qb et ra+sb avec p,q,r,s entiers vérifiant:
ps-qr=1

Pour le a), je pense que le pgcd est le pgcd(a;b) mais je ne vois pas trop comment rédiger :
d divise 7a+4b et d divise 9a+5b
donc d divise 25a+20b-(36a+20b)
d divise a

Il en va de même pour b, on a donc d divise a et d divise b mais est ce suffisant pour dire que le pgcd est celui de a et b ?

Pour le b) je n'ai pas trop de pistes...
Merci pour votre aide.

[Zebulon]

Bonjour,

Pour le a), je pense que le pgcd est le pgcd(a;b) mais je ne vois pas trop comment rédiger :
d divise 7a+4b et d divise 9a+5b
donc d divise 25a+20b-(36a+20b)
d divise a

Il en va de même pour b, on a donc d divise a et d divise b mais est ce suffisant pour dire que le pgcd est celui de a et b ?

ce n'est pas suffisant pour que d=pgcd(7a+4b,9a+5b). En effet, soit =pgcd(7a+4b,9a+5b), alors tu as seulement prouvé que d divise .

[ferdo]

Oui, j'ai compris pour la première question, en faisant avec des ensembles on s'aperçoit que le premier est inclus dans le second et vice versa donc les pgcd sont égaux,

par contre pour la seconde question, quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance