Terminale S : Fonction-Variations et continuité.

[Bouboul]

Bonjour, je bloque sur cette exercice faisant appel aux fonctions dérivées.

Dans un repere orthogonal (o,i,j) on a tracé les courbes P et H d'équations respectives:
y= x² et y= 1/x

L'objet de cet exercice est d'étudier l'existence d'une tangente commune aux deux courbes P et H.

1/ On suppose qu'il existe une droite D tangente à P en un point d'abscisse a et tangente à H en un point B d'abscisse b.

a) Demontrer que 2a = - 1/b²

b) Démontrer que D a pour équation:

y = 2ax-a²,
et en déduire:
1/b = 2ab - a²

c) déterminer les réels a et b

2/ Démontrer qu'il existe une droite et une seule qui est tangente aux 2 courbes P et H.

J'ai réussi la première partie de la question b). En revanche je seche complètement sur la question a).
Merci d'avance pour votre aide.

[nox]

Quelle est la définition de la dérivée ? Que représente-t-elle par rapport à la tangente ?

[Bouboul]

Merci de votre réponse
J'ai trouvé:

P'(a) = 2a
et H'(b) = -1/b²

Je sais aussi que:

Tp = p(a) - p'(a)(x-a)
et Tp = p(b) - p'(b)(x-b)

Or je n'arrive pas à mettre a et b en relation
Merci de votre aide

[nox]

La droite est tangente à P en A et tangente à H en B

Donc son coefficient directeur peut-être donné soit par la dérivée de x² en a soit par la dérivée de 1/x en b...

On exprime en fait ce coefficient directeur de 2 manières différentes tout simplement

[Bouboul]

D'accord, mais je ne comprend pas bien, puisque le but de l'exercice est de prouver cette tangente commune, je ne peux donc pas répondre à la première question en admettant vrai ce que je dois démontrer non?

[nox]

Encore faut-il que a et b existent !

Pour l'instant on dit "Si cette droite existe alors elle est tangente en un certain point qu'on appelle A à la courbe P, et en un certain point B à la courbe H. On a alors une relation entre a et b..." mais rien ne nous dit que a et b existent réellement ! On pourrait très bien aboutir à un truc absurde, et on en déduirait qu'une telle droite n'existe pas. Mais là on va apparemment pouvoir déterminer a et b, donc ils existent bien...

Dans un premier temps on montre donc l'existence de cette tangente et ensuite dans la question 2 on montre l'unicité

[Bouboul]

Merci Nox, j'ai compris, je vais essayé de me débrouiller à présent.

[nox]

Oki no soucy

[Bouboul]

Apres réflexion, je bloque sur les 2 dernieres question:

pour determiner a et b, faut-il justifier? ou simplement dire : a = 1 et b = 1
Et pouvez vous me guider pour la question 2/ svp ?

Merci d'avance

[nox]

ah ba non !! pourquoi aurait-on a = b = 1 ?

Tu as un système de 2 équations à résoudre :
2a = -1/b
1/b = 2ab-a²

Tu en déduiras a et b

2) Suppose qu'il existe une autre droite tangente aux 2 courbes. Le raisonnement de la question 1 a été fait pour une droite quelconque tangent en a et b quelconque, donc on pourra refaire le même raisonnement pour cette autre droite, et on trouvera donc à nouveau qu'elle passe par a et b (si on a trouvé une solution unique pour le couple (a,b)), donc elle est confondue avec la première...
Donc la droite tangente aux 2 courbes existe (question 1) et est unique (question 2).
Il existe donc une, et une seule droite tangente aux 2 courbes

[Bouboul]

D'accord, donc pour la question 2/, en gros je dois dire: supposons une droite tangente à P en c et H en d ? Je suis alors le même résonnement que précédemment et conclue par donc a=c et b=d donc il n'existe qu'une seule droite ?

En tout cas, merci beaucoup pour votre aide :-)