Terminale S, besoin d'aide je suis bloquée.. (fonction ln)

[audrey9011]

Bonjour, je suis bloquée sur une question, j'ai essayer pleins de trucs, mais je n'y arrive vraiment pas.. Votre aide me serait utile !
Démontrer que pour tout réel t strictement positif : ln(1+t) > t/(1+t)

Merci beaucoup !!!

[Ericovitchi]

bonjour, étudie la fonction ln(1+t)-t/(1+t) en la dérivant. Tu verras facilement qu'elle est décroissante puis croissante avec un minimum pour t=0 et donc qu'elle est toujours positive.

(remarque, ça n'est pas vrai pour tout t, car le logarithme n'est défini que si t>-1)

[audrey9011]

Ah super merci beaucoup !! Je l'avais fait sans la dérivé.. J'ai trouver mon erreur , encore merci :) !

[audrey9011]

Mais juste une autre question, le fait que la fonction ln(1+t)-1/1+t soit positive, implique t-il que ln(1+t) > 1/(1+t) ??

[ampholyte]

Bonjour,

As-tu essayé un tableau de signe de la fonction définit sur ]-1; +oo[ ?

Mais juste une autre question, le fait que la fonction ln(1+t)-1/1+t soit positive, implique t-il que ln(1+t) > 1/(1+t) ??

Bien sûr vu que l'addition ne change pas le signe de l'inégalité.

[audrey9011]

Mais il ne faut pas les soustraire ? Comme on me l'a dit précédemment.. Je ne comprend plus :p

[audrey9011]

Ok, merci :)

[Ericovitchi]

Ben si il faut les soustraire. Il faut montrer que ln(1+t)-t/(1+t) est toujours positif. Et ln(1+t)-t/(1+t) >0 implique ln(1+t)>t/(1+t)

tu as trouvé quoi comme dérivée ?

[audrey9011]

Comme dérivée , j'ai trouvé : t/(1+t)²
Je ne suis pas sure du tout ...
J'ai compris le raisonnement :) !

[Joker62]

Hello (Une autre méthode assez jolie)





Or pour tel que on a :

Par passage à l'inverse, on a :



On intègre entre 0 et t :

d'où le résultat

[audrey9011]

Ouf, mais c'est également bien plus dur :p ! Mais merci c'est très bon à savoir, je vais l'étudier également :)

[audrey9011]

La dérivée est-ce bien t/(1+t)² ?

[Joker62]

C'est beaucoup plus dur c'est vrai.

Mais au moins l'autre te paraît beaucoup plus facile :p

Oui c'est bien ça ta dérivée.

[Ericovitchi]

oui c'est bien ça la dérivée.

[audrey9011]

Merci à vous deux :)

[ampholyte]

Mais il ne faut pas les soustraire ? Comme on me l'a dit précédemment.. Je ne comprend plus :p

Je te proposais simplement une autre solution =).