Terminale S, Asymptote

[Kyuss]

Bonjour à tous

Je sèche sur un exercice, pouvez-vous m'aider ?

Enoncé de mon exercice :

Proposer une fonction dont la représentation graphique passe par A(-1;2) et admet les droites d'équation x=-2 et y=2x+1

Mon cours donne la formule suivant (je pense qu'il faut s'en aider) :
y=f'(a)*(x-a)+f(a)

Je vois pas comment faire

[phryte]

Slt.

admet les droites d'équation x=-2 et y=2x+1

Tu veux dire :
admet les droites d'équation x=-2 et y=2x+1 comme asymptotes

[L.A.]

Bonjour.

Proposer une fonction dont la représentation graphique passe par A(-1;2) et admet les droites d'équation x=-2 et y=2x+1

je pense que la fin de la phrase est "...pour asymptotes" vu le titre.
du coup la formule de la tangente n'est pas très utile... :zen:

A tu une idée de fonction qui ait pour asymptote x=-2 ?

[Kyuss]

Ah oui c'est ça j'suis bête.

Je voulais dire x=-2 et y=2x+1 comme asymptotes.

Une fonction qui a pour asymptote verticale x=-2 oui je pense que c'est pas très dur. Par exemple, f(x) = 1/(2+x)

Mais pour le reste...?

[phryte]

Slt.
Pense à la division euclidienne...

[L.A.]

division euclidienne moi je vois pas...

mais je propose autre chose :

on peut transformer la fonction f(x) = 1/(2+x) qui admet x=-2 pour asymptote, en une fonction g = kf + h qui admette aussi y=2x+1 pour asymptote (k un réel, h une fonction)

quelles sont les limites de f en +/- infini ? Quelle est donc la condititon sur les limites de h ? Quelle fonction h simple convient ? est-ce que g = kf+h vérifie toujours x=-2 asymptote de g ? quelle valeur de k convient ?

[phryte]

Bonjour.

division euclidienne moi je vois pas...

On peut écrire :
y=2x+1+K/(x+2)
et avec A(-1;2)
.....

[L.A.]

OK phryte, quelle division euclidienne te permet d'aboutir à cette fonction ? en particulier d'où sort précisément la partie entière ?

mon précédent message étant faux, je le réédite pour tenir compte du point A.

[phryte]

OK phryte, quelle division euclidienne te permet d'aboutir à cette fonction ?

Lorsqu'on a une fonction f(x)=g(x)/h(x) en faisant la division euclidienne de g(x) par h(x) on met en évidence l'asymptote oblique si elle exeiste.
Ici on aura f(x) = y=2x+1+K/(x+2)
2=-2+1+K/(-1+2)
et K=1
donc une solution est :
f(x)=2x+1+1/(x+2)

[L.A.]

OK, ça marche.

ta methode permet de trouver directement la forme des fractions rationnelles admettant deux asymptotes données, une verticale et une oblique. Pratique, parce que on n'a pas ensuite à redémontrer que la solution pasant par A trouvée convient bien aux asymptotes, vu que c'est dans le théorème.

Ma méthode est plus longue, mais plus intuitive, et ne requiert pas ce théorème (pas sûr que les divisions euclidiennes de polynômes soient au programme du lycée.)

à garder en tête aussi qu'il y a toutes sortes de solutions non rationnelles :
si f est solution, alors x |-> f(x) + sin(pi x)/x est aussi solution

enfin bref...