Terminal-Suites

[bart22]

Bonsoir.
Je galère sur un exo, je fais un résumé:

Soit a un réel strictement positif
On considère une suite réelle (Un) définie par son premier terme U0 strictementpositif et la relation de récurrence : Un+1=(1/2)(Un + (a/Un))

1)a) Démontrer pour tt n que, Un strictement supèrieur à 0. Pas deproblème je l'ai fait par récurrence sauf pour l'initialisation? comment faire?
Pour quelle valeur de U0 la suite (Un) est-elle constante?
Pas de problème.
2) On suppose désormais que : (U0)²-a diffèrent de0
a) Démontrer que Un+1- rac a= [1/(2Un)](Un-rac a)²
Démontrer que Un+1+ rac a= [1/(2Un)](Un+rac a)²Pas de soucis, j'ai réussi

b) Démontrer que la suite (Un) est strictement décroissante à partir du rang 1.Je trouve Un+1-Un= -(Un²-a)/2Un mais comment démontrer que c'est négatif ?

En désuire que la suite (Un) admet une limite qu'on ne cherchera pas à calculer.
Comme U est minorée et qu'elle est décroissante, elle converge donc admet une limite

Enfin, on pose Vn= (Un-rac a)/ (Un + rac a)

a) Il faut exprimer Vn+1 en fonction de Vn puis en fonction de V1 et n.
Je trouve Vn+1= Vn² (d'&près les questions précédentes, mais pour exprimerer Vn+1 en fonction de Vn et V1 ... je sèche

b)En déduire la limite de Vn
Puis déterminer la limite de Un

Une aide serait la bienvenue. Merci d'avance.

[Sa Majesté]

1)a) l'initialisation consiste à montrer que U0 est > 0
Comme c'est écrit dans l'énoncé, c'est pas trop dur ! :id:

3)a) écris Vn+1 en fonction de Vn puis de Vn-1, etc ... la solution va te venir
b) ensuite écris V1 en fonction de U1 et de a, trouve la position de V1 par rapport à -1 et 1

[valentin.b]

L'initialisation de la démonstration consiste à montrer que

Si U0 > 0 alors U1 > 0.

U1 = (1/2)(U0+a/U0)

a > 0
U0 > 0 => 1/U0 > 0

égalitées de même sens :
a/U0 > 0

Donc U0 + a/U0 > 0
reDonc (1/2)(U0 + a/U0) > 0
U1 > 0

[Benjamin]

Valentin, tu fais l'hérédité pour le cas n=0. Ce n'est pas l'initialisation ;). Sa Majesté a bien répondu, l'initialisation est dire que U0>0.

[bart22]

Merci pour les réponses. :we:
Alors pour
3)a) Calculer V(n+1) en fonction de Vn:
V(n+1) = Vn²

b)Calculer V(n+1) en fonction de V1 et n.
Là je bloque toujours.
Pourquoi trouver la position de V1 par rapport à -1 et 1? Et comment faire?
Raa j'aime pas ce genre d'exercice parce que je ne peux pas avancer tant que je n'arrive pas cette question!

Merci de me répondre.

[Benjamin]

Bonjour,
Pars du début :
Calcule V2 en fonction de V1. Puis V3 en fonction de V2 puis de V1, V4 en fonction de V3 puis de V1 etc... Que constates-tu ? Que peux-tu conjecturer comme formule de Vn ?

Une fois que tu as ta conjecture, tu la démontres par récurrence.

[bart22]

Je viens de comprendre (il en faut du temps^^)
Donc j'ai remarqué que
Vn=V0^2n=V1^2(n-1)

Par contre j'ai un problème pour la récurrence; j'arrive à:

Vn+1= V0^4n=V1^4(n-1)

et je veux arriver à:

Vn+1=V0^2(n+1)=V1^2n

comment faire?

[valentin.b]

Valentin, tu fais l'hérédité pour le cas n=0. Ce n'est pas l'initialisation . Sa Majesté a bien répondu, l'initialisation est dire que U0>0.

Je parle de l'initialisation de la démonstration par récurence... Il faut montrer que c'est vrai pour un rang, sinon la récurence n'a aucun sens...

[Benjamin]

Valentin, tu ne vas pas m'apprendre comment on fait une démonstration par récurrence. L'initialisation, c'est démontrer que P(0) est vrai, et l'hérédité, c'est de démontrer que pour tout n, si P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie.

Ici, P(n) c'est la proposition : Un>0

Toi, tu as démontré que si P(0) est vraie, alors P(1) est vraie.

L'initialisation, c'est démontrer P(0) est vraie, donc démontrer que U0>0. C'est bien le cas, initialisation terminée.

[Benjamin]

Je viens de comprendre (il en faut du temps^^)
Donc j'ai remarqué que
Vn=V0^2n=V1^2(n-1)

C'est là que tu te trompes. Ta conjecture est fausse donc tu n'arrives pas à la démontrer .

On multiplie l'exposant par 2 à chaque itération en fait. On a 2, 4, 8, 16... Ce que tu as écrit correspondrait à la progression 2, 4, 6, 8, 10....

[bart22]

^^ Ok. Donc je comprends pourquoi çà marchait pas.

Pourtant j'ai:

Vn+1 = Vn².
Dc:
V1= V0²
V2=V1²=V0^4
V3=V2^2=V0^8

Donc on constate que

Vn= V0^2(^n)=V1^2^(n-1) non?
Mais pour moi çà reviens au même en fait! Et je n'arrive toujours pas à faire ma récurrence!

[Benjamin]

Ta conjecture est désormais bonne. Et ça ne revient pas au même !!
n'est pas égale à . Attention aux parenthèses .

Pour faire ta récurrence, utilise le fait que

[bart22]

Par contrer est-ce que je dois faire une initailisation?
Parce qu'il me semble qu'elle ne marche pas pour n=0.
Mais comme on ne nous donne pas de valeur, comment je peux démarrer l'initialisation?

[valentin.b]

:langue2:

Valentin, tu ne vas pas m'apprendre comment on fait une démonstration par récurrence. L'initialisation, c'est démontrer que P(0) est vrai, et l'hérédité, c'est de démontrer que pour tout n, si P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie.

Ici, P(n) c'est la proposition : Un>0

Toi, tu as démontré que si P(0) est vraie, alors P(1) est vraie.

L'initialisation, c'est démontrer P(0) est vraie, donc démontrer que U0>0. C'est bien le cas, initialisation terminée.

:langue2:

[Benjamin]

Par contrer est-ce que je dois faire une initailisation?
Parce qu'il me semble qu'elle ne marche pas pour n=0.
Mais comme on ne nous donne pas de valeur, comment je peux démarrer l'initialisation?

Tu initialises pour n=1. On te parle de V1 et non pas de V0. Pour n=1, tu verras que ça marche .

[bart22]

Encore une question:

est-ce que:

[V1^(2^(n-1)]²=V1^(2^(2(n-1)))=V1^(2^(2n-2))?

parce que je suis arrivé là, mais après je reste bloqué pour montrer que c'est égal à V1^(2^(n))

[Benjamin]

Non, ce n'est pas ça. En reprenant mais lettre a, b et c, tu as a=V1, b=(2^(n-1)) et c=2, donc ?

[bart22]

J'ai enfin trouvé! Ouf!
J'ai confondu avec toutes les puissances^^.
Par contre est-ce que la relation trouvé est vrai pour tout n appartenant à N ou seulement vrai pour tout n appartenant à N*?

[Benjamin]

Il faut te placer dans N*. Souviens toi que l'initialisation marche pour n=1 mais pas pour n=0 ;).