DM term S: suites par récurrence

[Cbaz]

Bonjour, j'ai un DM sur les suites, mais je n'arrive pas à tout faire, pourrait-on m'aider svp? merci

Sujet:

Partie 1:

soit f(x)= ((x + 1) / (racine(x² + 1)) - 1 définie sur R dans R

1) a. résoudre l'équation f(x) = x
b. résoudre l'équation f(x) =< x

2) former le tableau de variations de f

Partie 2:

on considère la suite (Un) avec n€N définie par:

U0 € R
Pour tt n€N, U(n+1) = f(Un)

1) que dire de (Un) avec n€N si U0= -1 ou U0=0 ?

2)On suppose ici que U0= -4
a) Montrer que pour tt n€N, Un < -1
b) Etablir que (Un) n€N est croissante
c) en déduire la nature de la suite et déterminer sa limite


Pour la partie 1, j'ai trouvé:

1) a.

((x + 1) / (racine(x² + 1)) - 1 = x
<=>
(x + 1)(1-(racine(x² + 1)) = 0

d'où

x= -1 et x=0 comme solutions


b. j'ai fait la même chose que pour le a., avec le signe qui change et j'ai trouvé

S= ]- inf ; -1] comme soltution


2) j'ai dérivé f

f '(x)=(-x + 1) / ((racine(x² + 1)*(x² + 1))

et les variations de f sont: croissante sur ]-inf ; 1] décroissante sur [1 ; +inf[

Les limites (je n'ai pas réussi à les trouver, mais sur ma calto, c'était lim f(x) losque x-> -inf = 2 et lim f(x) losque x-> +inf = 0

Pour la partie 2,

pour le 1), je n'arrive pas à "dire" que U0= - 1 ou U0= -1 sont les solutions de l'équation f(x) avec f(x) = f(Un)

2) a. Je ne sais pas non plus comment m'y prendre pour démontrer ue pour tt n€N, Un<-1

b. Pour démontrer que (Un) est croissante, il fautdire que: comme f(x) = f(Un)
et qu'on sait que f(x) croissante sur ]-inf ; -1] et que Un<-1 donc (Un) définie sur ]-inf; -1], alors (Un) croissante sur ]-inf; -1]

c. Comme (Un) est strictement droissante sur ]-inf; -1], soit strictement monotone, alors (Un) est une suite arithmétique