{Term S} dérivation

[haricot29]

Bonjour tout le monde, tout d'abord BONNE ANNEE A TOUS... :king2:

Voila je me suis remise dans mes cours car c'est peut etre les vacances mais bon il y a quand meme du boulot...
Voila je bloque sur un exercice de maths, j'aimerais bien un peu d'aide, quelques conseils pour pouvoir avancer, car j'avoue je suis assez perdue... :doh: :doh:
Merci d'avance !!!

Soit f la fonction définie sur R par :
f(x) = sin x / x --> si ;) 0
f(0) = 1

1/ montrer que f est continue en 0.

2/ On pose pour tout x appartenant à ]-pi/2 ;pi/2[
u(x) = sin(x) - x + (x^3/6)
v(x) = cos(x) - 1 + (x²/2)
w(x) = sin(x) - x
étudier les variations de w sur ]-pi/2 ; pi/2[. En déduire celles de v puis celles de u.

3/ Montrer que :
pour tout : 0 ;) x < pi/2 ; on a x-(x^3/6) ;) sinx ;) x
pour tout : -pi/2 < x ;) 0 ; on a x ;) sinx ;) x-(x^3/6)

4/ En déduire que f est dérivable en 0 et que f'(0)=0 ( on calculera la limite du taux de variation de la fonction d entre 0 et x)

[celge]

pour la question 1, penser que sin(x)/x = (sin(x) - sin(0) ) / (x-0), et tu peux en deduire la limite de sin (x) / x quand x tend vers 0. (la derivée de sinus en 0), qui vaut 1, et qui ainsi vaut ce que, par definition on a appelé f(0), d'où lim en 0 de f(x) est egale à f(0), donc f est continue en 0

[math*]

Pour la première question il faut trouver :

Il faut utiliser le taux d'accroissement de la fonction sinus.
En sachant bien évidemment que sin'x=cosx !!

sur
Donc w strictement décroissante sur cet intervalle.

Je vais regarder pour le reste.

[haricot29]

ok dacc merci pour la question 1 j'avais commencé comme cela mais je n'étais pas sur que ce soit suffisant pour dire qu'elle était continue.

dès que je trouve quelque chose je le mets pour savoir si c'est ok ou pas...

[celge]

Remarque que la derivée de v vaut - w, puis que v est la derivée de u, et tu auras fini la question 2

[math*]

v'(x)=-sinx+x
Je propose de chercher la dérivée à l'ordre 2 :

donc v' strictement croissante sur
On trouve que v'(x)<0 si et si

On en déduit le sens de variation de v et le signe de v(x) sur l'intervalle en calculant v(0)

Pour u, c'est facile : u'(x)=v(x)

[math*]

Oups, la méthode de celge est plus rapide mais j'avais pas cherché de relation entre w et v. :marteau:

[celge]

euh, math*, la derivée de cosinus, c'est - sinus (et là, tu te tapes la tete normalement) (tu as du faire une erreur de recopiage dans ton v'... :dodo: )

[celge]

Bon, ensuite, c'est assez facile avec le tableau de variation de u et celui de w, sachant que w(0)=0 et u(0)=0 aussi...

[math*]

Désolé, je suis alé trop vite. Je me disais bien qu'il y avait une erreur quelque part.

[math*]

J'ai modifié, ça ne change pas grand chose pour la suite mais quand même ! :!:

[haricot29]

oué pour la 2 je viens de faire je suis a peu prés ok avec vous, j'avais quelques erreurs mais cava...
je vais manger, je reviens vers 13h30 mais n'allais pas trop vite lol car sinon je n'ai as le temps de chercher... Merci

[celge]

Pour la question 4, il serait tellement plus simple d'apprendre les DL en terminale... :we:

[math*]

Moi qui les ais appris, je suis tout à fait d'accord avec toi ! :id:

[haricot29]

:doh: Hum... j'ai un petit probleme, je ss entrain de rédiger propre ma question 2 car c'était trop le brouillon
donc on est ok
v'(x) = -w(x)
v(x) = u'(x)

quand on fait un tableau de variation
w'(x) < 0 sur l'intervalle avec w(0)=0

donc si v'(x) = -w(x)
v'(x) < 0 sur ]^pi/2 ; 0[
v'(x) > 0 sur ]0 ; pi/2[
donc v(x) strict décroiss sur ]-pi/2 ; 0[ et strict croiss sur ]0 ; pi/2[ avec v(0)=-2

donc si v(x)=u'(x)
u'(x) < 0 sur ]-pi/2 ; pi/2[
donc u(x) strict décroiss sur cet intervalle sauf que probleme a la calculatrice u(x) est croiss sur cet intervalle
Alors... ??? :hein:

[haricot29]

euh j'avoue que je ne vois aps trop comment faire pour la question 3, ça fait 15 min que je suis dessus et je n'ai pas avancé... je me doute qu'il y a un rapport avec u(x) car on y retrouve les meme valeurs mais je ne vois pas quoi...
:help:

[celge]

Ben v n'est pas forcement negatif sur tout l'intervalle, et puis v(0) est egal à 0

[math*]

pour montrer ceci : "si 0 x < pi/2, on a x-(x^3/6) sinx x",
il faut montrer que ET que w(x);)0 quand 0 x < pi/2

Raisonne de la même manière pour montrer ceci : -pi/2 < x 0 ; on a x sinx x-(x^3/6)

Je n'ai pas trop regarder tes calculs, mais si tu as trouvé ça, c'est bon.

[haricot29]

euh alr pr la question 2 c'est ok j'ai trouvé mon erreur enfet j'avais mal rentré la fonction v(x) dans ma calculatrice.

Pour ce qui est de la question 3 j'ai raisonné de la façon suivante mais je ne pense pas que c'est la bonne ou alr il doit y avoir plus facile ?!
j'ai fait :
0 ;) x < pi/2
0 ;) sin x < 1
-x + (x^3/6) ;) u(x) < 1-x+(x^3/6)

0 ;) u(x) ; car 0;)x< pi/2 d'ou 0;) u(x) <0.75

C'est bon comme ça ?
:id: :hein:

[math*]

Oula !
C'est le signe de tes fonctions qu'il faut étudier !!
Parce que si tu pars d'un truc avec l'ensemble de définition de la fonction sinus...., tout ce que tu as fait avant ne sert à rien !
Bon moi j'y vais, bon courage !