Taux d'accroissement et fonction

[Yannou]

Bonjour à tous, me revoilà pour un autre petit souci sur un exercice ^^
Je bloque rien qu'à la première question aie aie aie :/

1)a) Une population a un taux d'accroissement de 2% par an.
Combien d'années faut-il pour qu'elle double ?
b)Même question pour une population dont le taux d'accroissement naturel est de 4% par an

Je m'arrete là pour le moment, je vous questionnerai pour le reste de l'exercice ensuite, une fois que j'aurais un peu compris le début...
Merci d'avance pour votre aide !

[SimonB]

1)a) Une population a un taux d'accroissement de 2% par an.
Combien d'années faut-il pour qu'elle double ?

Tu peux modéliser le problème par une suite : tu appelles le nombre d'habitants au début de l'expérience, puis le nombre d'habitants au début de l'année d'après, le nombre d'habitants deux années après, ..., le nombre d'habitants n années après.

Le but est de trouver n (le nombre d'années) tel que . Comment peux-tu traduire l'hypothèse que tu as sur ta suite ?

[Yannou]

je suis le raisonnement mais je ne vois pas trop quoi faire ensuite, puisque rien n'est donné dans l'énoncé

[Yannou]

j'ai trouvé un raisonnement, je ne sais pas s'il est bon...
On sait que Un+1= Un+2/100*Un ... Un+1=1.02Un
on trouve donc une suite géométrique
mais que faire ensuite ?

[Yannou]

personne ne peut m'aider... :/

[Yannou]

vraiment personne? ^^

[bombastus]

j'ai trouvé un raisonnement, je ne sais pas s'il est bon...
On sait que Un+1= Un+2/100*Un ... Un+1=1.02Un
on trouve donc une suite géométrique
mais que faire ensuite ?

Maintenant que tu sais que c'est une suite géométrique et que tu connais la raison, tu peux exprimer Un en fonction de U1.

[Yannou]

Maintenant que tu sais que c'est une suite géométrique et que tu connais la raison, tu peux exprimer Un en fonction de U1.

On cherche n tel que Un=2Uo (Uo etant le nombre d'habitants au début de lexpérience
J'ai Un+1=1.02Un donc on a q=1.02
Suite géométrique donc Un=Uo*q^n
Un=Uo*1.02^n

j'vois pas trop comment m'en sortir ça m'embrouille tout ça :/

[bombastus]

C'est presque fini,

Pourquoi est ce que SimonB t'a fait faire tout ça ? (quel était le but?)

Plus qu'une équation à poser et à résoudre.

[Yannou]

ou mais je ne vois pas laquelle justement xD
l'heure tardive ne doit pas m'aider dans ma réflexion !

[Yannou]

je ne sais pas si ce que je fais est bon...
2Uo=Uo*1.02^n
2Uo/Uo=1.02^n
Uo=1.02^n

j'men sort pas trop, jme mélange les pinceaux :/

[bombastus]

Pourtant je t'avais bien dit de chercher le but dans le poste de SimonB :

Le but est de trouver n (le nombre d'années) tel que

Maintenant que tu connais Un, tu peux poser l'équation et la résoudre.

[bombastus]

je ne sais pas si ce que je fais est bon...
2Uo=Uo*1.02^n
2Uo/Uo=1.02^n
Uo=1.02^n

j'men sort pas trop, jme mélange les pinceaux :/

Effectivement!

2Uo=Uo*1.02^n ok
2Uo/Uo=1.02^n ok
Uo=1.02^n faux

[Yannou]

Effectivement!

2Uo=Uo*1.02^n ok
2Uo/Uo=1.02^n ok
Uo=1.02^n faux

humm ok!
je vois pas comment sortir le n de cette équation, d'autant plus qu'il est en puissance :/

[bombastus]

Tu es en quel classe?

Normalement (puisque tu doit pouvoir faire l'éxo), tu as dû voir une fonction qui permet de traiter ce type d'équation.

[Yannou]

je suis en terminale es, je mélange un peu toutes les formules, mais de quelle forme est-elle? que je regarde dans mes cours...

[Yannou]

mais dans la mesure où je ne connais pas la valeur de Uo, comment pourrais-je trouver la valeur de ce n ??

[bombastus]

Et bien comme tu as remarqué, le n est l'exposant, or on voudrait qu'il ne soit pas en exposant. Pour cela on utilise la fonction ln (logarithme népérien) mais je ne sais pas si vous étudiez cette fonction en es...

[Yannou]

si bien sur on l'a étudiée !
mais je vois vraiment pas ce qu'il faut utliser ^^

[bombastus]

Uo=1.02^n --> ce résultat est faux

A partir de 2Uo/Uo=1.02^n
2U0/U0 = 2 non?
donc 1.02^n=...

et une des propriétés de ln est que
ln(a^b)=b*ln(a)