Tangentes courbe et cercle

[ju972]

Bonjours , je suis en terminal S et je n'arrive pas à faire cet exercice:

On dit que deux courbes du plan sont tangentes lorsque les deux conditions sont réunies :
— les courbes possèdent un point commun;
— en ce point, les courbes possèdent une tangente commune.

1. Soit f et g les fonctions définie sur R par
f(x)=ex et g(x)= x2+2x+1 e−x.
Montrer que les courbes Cf et Cg sont tangentes au point d’abscisse 0.

2. Soit f et g les fonctions définie sur R par
f(x)=x2+3 et g(x)=−x2+4x+1.
Montrer que les courbes Cf et Cg sont tangentes en un point que l’on précisera.

3. On note Γ la courbe représentative de la fonction exponentielle, et on note C le cercle de centre A(4 ; 0) et de rayon r , où r est un nombre réel strictement positif. Le but de cette question est de déterminer la valeur de r pour que les courbes Γ et C soient tangentes.
(a) Démontrer que Γ et C sont tangentes en un point d’abscisse x si et seulement si x − 4 + e2x = 0.
(b) Démontrer que l’équation x − 4 + e2x = 0 possède une unique solution réelle, que l’on notera α, et donner
un encadrement de α à 10−2 près.
(c) Démontrera lorsque le rayon du cercle cherché est r =eα 5−α.

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J'ai déjà fait les 2 premières question, mais c'est la 3 je n'y arrive pas
J'ai fait un schéma pour visualiser avec un repère sur le quel il y a une fonction f(x)=e^x et un cercle de rayon indéfini et de centre x=4

Voila mon problème, merci beaucoup de m'aider

[Ben314]

Salut,
La tangente à un cercle en un point donné M du cercle, c'est la perpendiculaire (en M) au rayon du cercle.

Lorsque tu prend un point M:(m,exp(m)) situé sur la courbe de la fonction exponentielle, tu doit savoir calculer (en fonction de m) la pente de la tangente en M à cette courbe (et même son équation).
Sait tu calculer l'équation (et/ou la pente) de la droite (AM) (toujours en fonction de m bien sûr) ?
Et l'équation (et/ou la pente ) de la droite passant par M et perpendiculaire à (AM) ?
A quelle condition le cercle centré en A et passant par M est-il tangent à la courbe de la fonction exponentielle ?
(Tu peut aussi raisonner avec des vecteurs et des produits scalaires à la place des droites si tu est plus à l'aise avec ces notion qu'avec celle de droites perpendiculaires)

[ju972]

bonjour, déjà merci de ta réponce
quand tu dis "tu doit savoir calculer (en fonction de m) la pente de la tangente en M à cette courbe (et même son équation)." je comprends pas se que tu veux dire pour "et même son équation"
ce que j'ai essayé de faire par rapport à ce que tu as dit:
avec la f(x)=e^x , sa dérivée est pareille f'(x)=e^x
donc la dérivée de M est e^m
j'ai essayé de calculer MA : MA= √(( 0-m)^2+(4-e^m)^2)=√(m^2+16-8e^m+(e^m)^2) je sais pas vraiment où aller

[pascal16]

M(x, exp(x))
A(4;0)
calcul de la pente ou coefficient directeur de (AM) :

c'est à dire que est un vecteur directeur de (AM)
(au passage est un vecteur normal à (AM))

un vecteur directeur de la tangente est (1; exp(x))

au point considéré, les vecteurs sont orthogonaux, donc de produit scalaire nul, soit :



d'où la (a)

pour (b), tu dérives l'équation donnée, la dérivée est strictement positive, donc la fonction strictement croissante (et continue) d'où l'unicité de la solution

(c) ne pas développer (m-4)²
on a m-4+exp(2m)=0, donc (m-4)=-exp(2m)
facile à mettre au carré et à mettre avec l'autre exp(2m)

[ju972]

bonjour merci à toi aussi pour cette réponse ,
je n'ai pas répondu tout de suite car je voulais avoir des calcules ou une suite de recherche avec ce que tu m'as dit mais je n'y arrive pas vraiment

a) lors qu'on a la pente de AM on trouve le vecteur directeur avec , c'est ca ? par ce que je n'arrive pas à faire le rapprochement

Puis ce qu'on recherche à faire c'est de chercher les vecteurs directeur de AM et de Γ (qui est representée par f(x)=e^x)? je n'ai pas compris non plus de quelle tangente tu parles

Apres le produit scalaire nul pour l'orthogonalité, c'est pour montré que le rayon AM du cercle est perpendiculaire à une tangente precise qui serait également la tangente de Γ c'est ca ?
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b) j'ai réussi à le faire, merci beaucoup
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c)donc avec la b) on a α l'unique solution pour l'équation , donc α-4+e^(2α)=0
α-4=-e^(2α) je suis d'accord mais j'ai pas compris pour aller dans quel sens ?

merci beaucoup et désolé pour le temps, j'espere que j'aurai une réponse

[pascal16]

relie ce qu'à écrit BAn

[ju972]

commment je peux calculer la pente de M ? Parce que je peux pas prendre un autre point de la courbe puisque que ce n'est pas une droite, est ce que je peux utiliser le taux de variation ? ca revient au même?
avec un point B (0, 1)
(e^m-1)/(m-0)

[ju972]

pour calculer "l'équation (et/ou la pente ) de la droite passant par M et perpendiculaire à (AM)" il faut d'abord que je trouve perpendiculaire à (AM), mais je vois pas comment

[siger]

bonjour

si deux courbes sont tangentes en M cela signifie que leurs tangentes en M sont confondues, donc que les coefficients directeurs des deux tangentes en M sont egaux
soit f'(xM)=g'(xM et f(xM)=g(xM)

f(x= e^x d'ou f'(x) = e^x
g(x) = (x-4)²+y²=r² equation du cercle
d'ou 2(x-4) +2yy' = 0
au point M, y= f(x)
d'ou
2(x-4)+2e^x*e^x=0
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