Ton idée : "la tangente ne coupe la courbe qu'en un seul point" (je préfère formuler les choses dans ce sens) vient sans doute du fait que tu avais travaillé jusqu'à présent avec des paraboles. C'est vrai dans ce cas.
C'est une question de degré. La parabole est une courbe de degré 2, et une droite ne peut couper une parabole qu'en au plus deux points. Un point de tangence compte comme un point d'intersection (au moins) double. Une tangente à une parabole a donc épuisé son droit à couper cette courbe avec son point de tangence.
Chan79 a dessiné une courbe de degré 3. Une droite ne peut couper une courbe de degré 3 qu'en au plus trois points. La tangente dessinée a un point de tangence qui compte double, mais elle a encore le droit à un autre point d'intersection !
En degré 4, il peut se passer des choses plus bizarres : une droite ne peut couper une courbe de degré 4 qu'en au plus 4 points. Une tangente a épuisé 2 de ses droits à couper avec le point de tangence, mais il se peut qu'elle utilise les deux droits restants pour faire un deuxième point de tangence : on a alors une bitangente à la courbe, comme ici :