Tangente commune

[krikri]

Bonjour, je bloque sur cet exercice que voici:
Soit P1 et P2 les paraboles représentantles fonction f1 et f2 respectivement définies sur R par:
f1(x)=x²+2x+3 et f2(x)=-1/2x²+1
On cherche à savoir s'il existe une ou plusieurs tangentes communes à ces deux courbes,c'est-à-dire un ou plusieurs au point A(a;f1(a)) et la tangente à P2 au point B(b;f2(a))soient confondues.
1.Trcer ces deux paraboles dans un repère orthonormé d'unité 1cm.
2.Déterminer,en fonction de a,l'équation de la tangente à P1 au point A puis,en fonction de b ,l'équation de la tangente à P2 au point B. je trouve la tangente T1 y=x(2a+2)-a²+3 et T2 y=-bx+b²/2+1
3)3.établir que ,si ces deux tangentes sont confondues,alors nécéssairement a et b sont solutions du système:
2a+b=-2
a²+(1/2)b²-2=0
c'est la que je bloque.Comme on dit tangente confondues alors j'ai fait T1=T2
et je trouve x(2a+2+b) = a²+(1/2)b²-2
Peut etre aurais je du les séparer ce qui aurait donné:a²+(1/2)b²-2=0 et x(2a+2+b)=0
dans les 2 cas il y a le x qui gene pour retrouver le systeme et je sais pas quoi faire.
4)resoudre ce systeme par substitution et verifier que les couples de solutions trouvés conviennent
5) en deduire qu'il existe deux tangente communes aux deux paraboles P1 et P2.
en vous remerciant d'avance pour votre aide

[Ana_M]

Bonjour, je bloque sur cet exercice que voici:
Soit P1 et P2 les paraboles représentantles fonction f1 et f2 respectivement définies sur R par:
f1(x)=x²+2x+3 et f2(x)=-1/2x²+1
On cherche à savoir s'il existe une ou plusieurs tangentes communes à ces deux courbes,c'est-à-dire un ou plusieurs au point A(a;f1(a)) et la tangente à P2 au point B(b;f2(a))soient confondues.
1.Trcer ces deux paraboles dans un repère orthonormé d'unité 1cm.
2.Déterminer,en fonction de a,l'équation de la tangente à P1 au point A puis,en fonction de b ,l'équation de la tangente à P2 au point B. je trouve la tangente T1 y=x(2a+2)-a²+3 et T2 y=-bx+b²/2+1
3)3.établir que ,si ces deux tangentes sont confondues,alors nécéssairement a et b sont solutions du système:
2a+b=-2
a²+(1/2)b²-2=0
c'est la que je bloque.Comme on dit tangente confondues alors j'ai fait T1=T2
et je trouve x(2a+2+b) = a²+(1/2)b²-2
Peut etre aurais je du les séparer ce qui aurait donné:a²+(1/2)b²-2=0 et x(2a+2+b)=0
dans les 2 cas il y a le x qui gene pour retrouver le systeme et je sais pas quoi faire.
4)resoudre ce systeme par substitution et verifier que les couples de solutions trouvés conviennent
5) en deduire qu'il existe deux tangente communes aux deux paraboles P1 et P2.
en vous remerciant d'avance pour votre aide

Oui, T1 = T2, mais tu as alors égalité entre deux polynomes.
Il faut donc identifier les coefficients devant chaque monome x, x² et la constante !

[krikri]

d'accord mais je n'ai pas trop compris sur ce qu'il faut faire pourrais tu détaillé un peu pour ma comprehension s'il te plait

[Ana_M]

tu as
T1 y=x(2a+2)-a²+3 et T2 y=-bx+b²/2+1
On veut
T1 = T2

donc :
coefficient devant x dans T1 = coefficient devant x dans T2
constante dans T1 = constante dans T2

[krikri]

ca nous donne
2a+2=-b
-a²=b²/2
3=1
est ce que j'ai bien compris?

[Ana_M]

Ok pr le premier
par contre réfléchis un peu , comment veux-tu que 1 =3 ?
pourquoi tu découpes en 2 tes deux dernières équations ?

dans T1, la constante, c'est -a²+3 , et dans T2, c'est b²/2+1 ; il s'agit des termes où i l n'y pas de x dedans !

[krikri]

ah oui j'avais pas vu. mon cerveau est un peu hs j'ai pssé la journée a faire des exos de maths.
donc
2a+2=-b
-a²+3=b²/2+1

Et apres on reviens au systeme de la question qu'il faudra résoudre ensuite

[Ana_M]

oui tu mets sous la forme qui est donnée dans l'énoncé !
il ne te reste plus qu'à le résoudre ....

[krikri]

je te remercie beaucoup de m'avoir aidé. le reste je pense pouvoir le faire plus tard

[geegee]

Bonjour, je bloque sur cet exercice que voici:
Soit P1 et P2 les paraboles représentantles fonction f1 et f2 respectivement définies sur R par:
f1(x)=x²+2x+3 et f2(x)=-1/2x²+1
On cherche à savoir s'il existe une ou plusieurs tangentes communes à ces deux courbes,c'est-à-dire un ou plusieurs au point A(a;f1(a)) et la tangente à P2 au point B(b;f2(a))soient confondues.
1.Trcer ces deux paraboles dans un repère orthonormé d'unité 1cm.
2.Déterminer,en fonction de a,l'équation de la tangente à P1 au point A puis,en fonction de b ,l'équation de la tangente à P2 au point B. je trouve la tangente T1 y=x(2a+2)-a²+3 et T2 y=-bx+b²/2+1
3)3.établir que ,si ces deux tangentes sont confondues,alors nécéssairement a et b sont solutions du système:
2a+b=-2
a²+(1/2)b²-2=0
c'est la que je bloque.Comme on dit tangente confondues alors j'ai fait T1=T2
et je trouve x(2a+2+b) = a²+(1/2)b²-2
Peut etre aurais je du les séparer ce qui aurait donné:a²+(1/2)b²-2=0 et x(2a+2+b)=0
dans les 2 cas il y a le x qui gene pour retrouver le systeme et je sais pas quoi faire.
4)resoudre ce systeme par substitution et verifier que les couples de solutions trouvés conviennent
5) en deduire qu'il existe deux tangente communes aux deux paraboles P1 et P2.
en vous remerciant d'avance pour votre aide

1) f1(x)=x²+2x+3 et f2(x)=-1/2x²+1
A(a;f1(a)) et la tangente à P2 au point B(b;f2(a))soient confondues
y=f'(a)(x-a)+f(a)
(2a+2)(x-2)+a^2+2a+3=2ax-4a+2x-4+a^2+2a+=2ax+a^2-2a+2x-1
(-b)(x-b)+ -1/2b^2+1=-bx-1/2b^2+1
si les tangentes sont confondue (2a+2)=-b
a^2-2a-1=-1/2b^2+1

[Ana_M]

je te remercie beaucoup de m'avoir aidé. le reste je pense pouvoir le faire plus tard

Avec plaisir ! Si tu as d'autres pb n'hésite pas à revenir ici !