La taille de la zone baignable (fonctions et extremums)

[pimpoum]

Bonjour,

voici un exercice (2nde) que je n'arrive pas à terminer:

Les moniteurs d'un centre aéré mettent des bouées sur l'eau pour définir une zone de baignade sur la plage.
A partir de la plage (qui est droite), il forment avec le cordon de baignade (qui mesure 60 mètres) un rectangle ABCD dont un coté (DA) est la plage et les 3 autres sont formés par le cordon (AB, BC, CD).

On cherche la longueur du coté DA (la plage) pour que l'aire soit maximum

A=L*l=DA*l=DA*((60-DA)/2)

on défini la fonction où x est la longueur DA:

f(x)=x((60-x)/2)=(-1/2)x^2 + 60x

On cherche donc le maximum de cette fonction sur l'intervalle [0-60]

Comment faire pour le justifier? Je sais que c'est x=30 pour 450 m^2 mais je ne vois pas comment le justifier...

merci!

[meriem12]

on a defini la fonction :f(x)=(-1/2)x²+30x
f(x) represente l'aire mais en fonction de ad
alor on doit trouver la valeur de x; pour la quelle f(x) prend son top
donc en fait f'(x)=-x+30
pour tous x de [0;60]((on prend cette interval car x est toujour superieur a 0 car c'est une longueur et x est inferieur a 60 car le cordon de baignade mesure 60m))
pour tous x de [0;30] f'(x)>0 ALOR f(x) est croissante sur cette interval est pour x de [30;60] f'(x)<0 donc f(x) est decroissante
puisque f(x) est croissante sur [0.30] et elle est decroissante sur [30;60]donc f(x) admet une valeur maximal pour x=30
donc l'aire est le plus vaste possible quand x=30 ou ad=30

[pimpoum]

merci pour la réponse mais les dérivés ne sont pas encore au programme de 2nde...il doit y avoir un autre moyen... :help:

[Black Jack]

Bonjour,

voici un exercice (2nde) que je n'arrive pas à terminer:

Les moniteurs d'un centre aéré mettent des bouées sur l'eau pour définir une zone de baignade sur la plage.
A partir de la plage (qui est droite), il forment avec le cordon de baignade (qui mesure 60 mètres) un rectangle ABCD dont un coté (DA) est la plage et les 3 autres sont formés par le cordon (AB, BC, CD).

On cherche la longueur du coté DA (la plage) pour que l'aire soit maximum

A=L*l=DA*l=DA*((60-DA)/2)

on défini la fonction où x est la longueur DA:

f(x)=x((60-x)/2)=(-1/2)x^2 + 60x

On cherche donc le maximum de cette fonction sur l'intervalle [0-60]

Comment faire pour le justifier? Je sais que c'est x=30 pour 450 m^2 mais je ne vois pas comment le justifier...

merci!

f(x)=x((60-x)/2)=(-1/2)x^2 + 60x
f(x) = -(1/2).(x²-30x)
f(x) = -(1/2).[(x-15)²-225]
f(x) = (1/2).[225 - (x-15)²]

Comme (x-15)² >= 0, pour quelle valeur de x f(x) sera-t-il maximum ?
...

:zen:

[pimpoum]

Merci,

alors je suis ton raisonnement mais je pense q'il y a une erreur.

On a:
f(x)=x((60-x)/2)
(60x-x^2)/2
(1/2)(60x-x^2)
(-1/2)(x^2-60x)
(-1/2)((x-30)^2-900)
(1/2)(900-(x-30)^2)

f est maximal pour x=30 non?

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mais bon ça me semble vraiment ardu pour de la seconde. Y aurait il un autre moyen?

[Black Jack]

Merci,

alors je suis ton raisonnement mais je pense q'il y a une erreur.

On a:
f(x)=x((60-x)/2)
(60x-x^2)/2
(1/2)(60x-x^2)
(-1/2)(x^2-60x)
(-1/2)((x-30)^2-900)
(1/2)(900-(x-30)^2)

f est maximal pour x=30 non?

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mais bon ça me semble vraiment ardu pour de la seconde. Y aurait il un autre moyen?

C'est juste.

Il y a diverses méthodes:
- Par les dérivées (non vu en seconde)
- Par la forme canonique de la relation du second degré (ce que j'ai proposé)
- En utilisant les propriétés des paraboles, soit:
Une parabole d'équation y = ax² + bx + c a un extremum en x = -b/(2a), cet extremum est un maximum si a < 0.

A toi de voir ce que tu as appris au cours.

:zen: