Systèmes

[vince59880]

bonjour
voila je n'arive pas à résoudre 1 système pouvez vous m'aider svp...
la question c : on considère la parabole P d'équation y=x²
soit t une droite d'équation y=ax+b; déterminer les conditions liant a et b pour que t ne coupe pas P,puis pour que t coupe P en deux points puis pour que t toucheP en un seul point(on rappelle que rechercher l'intersection de 2 courbes revient à résoudre le système formé par les 2 courbes)
merci de m'aider :triste:

[Sdec25]

Salut

Si P ne touche pas t alors l'équation x²=ax+b n'a aucune solution, ie x²-ax-b=0 n'a aucune solution. Le discriminant delta=a²+4b doit être négatif.
Si P coupe t en 2 points alors delta > 0
Si P coupe t en 1 point alors delta=0

[Quidam]

Salut,

Si un point appartient à la fois à une parabole et à une droite, ses coordonnées x et y vérifieront à la fois l'équation de la droite et celle de la parabole. Donc tu dois résoudre le système à deux inconnues :

y=ax+b
y=x²

En éliminant y, tu tombes alors sur une équation du second degré, qui te donnera 0,1 ou 2 racines distinctes, selon la valeur du déterminant. S'il y a deux solutions distinctes, cela correspond à deux points distincts (pour trouver y, tu n'as qu'à utiliser l'une des deux équations ci-dessus) ; s'il y a une seule solution, cela correspond à une tangence, s'il n'y a pas de solution, c'est que la droite et la courbe ne se coupent pas.

Voilà !

[vince59880]

merci beaucoup! :ptdr:

[panoramix]

Salut,

tu peux imaginer ce que ça donne graphiquement. Souvent, ça aide pour le raisonnement. Si la droite passe sous la parabole, c'est que a et b vérifient la première sous-question qui est dans l'exercice.
Si la droite et la parabole se coupent, ça veut dire que pour un certain x, il existe un y qui vérifie les deux relations, donc, pour ce x, tu as la relation :

x²=ax+b (=y)

il faut donc regarder si l'équation x²-ax-b=0 a une, deux ou pas de solutions !

Et là, le cours te dis que le nombre de solutions dépend du fameux Delta.
Il suffit d'étudier les conditions sur a et b pour obtenir un Delta nul, positif, négatif en fonction de la variante de la question. Le reste, il faut que tu saches le faire seul sans difficulté.

A+