Système d'équations

[Cygogno]

Coucou amis matheux !

Voilà , j'ai une petite difficulté sur les systèmes d'équation .
En voici une ! Pourriez vous m'expliquer comme s'y prendre pour résoudre celle-ci :

9 x ;) 8 y = 47
;)7 x ;) 9 y = 70


Merci d'avance ! :happy3:

[XENSECP]

Salut,

Pas le choix faut y aller en mode combinaison :)

[mcar0nd]

Hi, exprime une variable en fonction de l'autre, du genre x=... pour pouvoir résoudre ça. ;)

EDIT : Je suis encore trop lent, je te laisse continuer XENSECP.

[Cygogno]

J'ai du mal à saisir ... :s

[Kikoo <3 Bieber]

Coucou amis matheux !

Voilà , j'ai une petite difficulté sur les systèmes d'équation .
En voici une ! Pourriez vous m'expliquer comme s'y prendre pour résoudre celle-ci :

9 x 8 y = 47
7 x 9 y = 70


Merci d'avance ! :happy3:

Salut !

Un système de n équations est un ensemble de n équations qui doivent être résolues simultanément, et je ne parle pas d'un sens chronologique.
Je m'explique : Certains problèmes mathématiques (que l'on rencontre en physique, en chimie, en ingénierie, etc.) sont dits linéaires. Leur résolution nécessite donc de remplir différents critères, que l'on résume sous forme d'équations. Ces équations sont interdépendantes l'une de l'autre, il faut donc que la résolution de l'une prenne en compte la résolution de chacune des autres des équations.
Voilà pour l'explication contextuelle, passons à l'exo.

Tu as ici deux équations, qui dépendent chacune l'une de l'autre.
Tu peux donc additionner les lignes entre elles, tout en respectant les égalités. Ici, tu remarques qu'il serait plus que convenable de faire disparaître les x ou les y dans ton système, pour ne te retrouver qu'avec une seule inconnue dans une seule équation. Tu sais résoudre ce genre de situations.
Il y a deux principales façons, à ton niveau, de le faire :

1) La substitution
Le principe est très simple : Il te faut isoler l'une des variables et l'exprimer seule en fonction de l'autre.
Tu peux donc alors la remplacer par son expression dans l'autre équation. Tu te retrouveras ainsi à résoudre la deuxième équation en fonction d'une seule variable. Cette étape terminée, tu dois simplement trouver la première variable (celle que tu as substitué) en remplaçant la deuxième variable, c'est-à-dire celle que dont tu as trouvé la valeur, dans l'une des équations.
Ici par exemple, prenons la première ligne (équation) :
9 x - 8 y = 47
Alors nous remplaçons x par (47+8y)/9, ce que nous injectons dans la deuxième équation. Et on poursuit le processus comme indiqué.

2) La combinaison
Cette méthode nécessite à première vue de connaitre ses tables de multiplication. Elle est plus visuelle et sans doute un peu plus directe.
Un système linéaire est tel si deux conditions le remplissent, alors une somme de ces deux conditions multipliées par un nombre réel va également satisfaire le système.
Par exemple, si a est une solution d'un système linéaire, et si b aussi, alors 2a+3b sera aussi solution de ce système linéaire. Ce sera tout pour la partie théorique. A ton niveau, on vous apprend à considérer les deux lignes du système à deux équations, et à voir si l'on peut supprimer l'une des variables par la technique qui suit :

Soit la ligne L1 : 2a+b=8
Soit la ligne L2 : 3a+5b=6

On veut supprimer les a, alors puisque l'on a le droit d'additionner et de soustraire les deux lignes entre elles, nous allons multiplier l'une des lignes par une constante, et la deuxième par une autre constante, pour ensuite les additionner (ou les soustraire) afin qu'une des variables (en l'occurence a ici), s'en aille.

Le PPCM de 2 et 3 étant 6, on décide de multiplier la première ligne par 3 pour obtenir du 6a, et la deuxième ligne par 2, pour obtenir aussi du 6a. Par contre, il ne faut pas oublier de multiplier tous les autres termes de chaque ligne par le nombre approprié.

Nous avons ainsi :
3*(L1) : 6a+3b=24
2*(L1) : 6a+10b=12

Et on soustrait les deux lignes :
3*(L1)-2*(L2) : 3b-10b=-7b=24-12=12
Donc on en déduit que b=-12/7

Et on remplace dans la première équation...



J'espère que cela t'aura aidé à mieux comprendre les systèmes d'équation

PS : ah oui, désolé j'ai fait un "roman" !

[Cygogno]

Impressionné par tes connaissances en mathématiques !

Quand tu parles de la substitution et que tu indiques que nous remplaçons x par (47+8y)/9 , c'est réellement possible de faire disparaître le x comme si de rien était ? Ou bien nous aurions pu garder le "x" mais enlever le "y" ?

[Kikoo <3 Bieber]

Impressionné par tes connaissances en mathématiques !

Quand tu parles de la substitution et que tu indiques que nous remplaçons x par (47+8y)/9 , c'est réellement possible de faire disparaître le x comme si de rien était ? Ou bien nous aurions pu garder le "x" mais enlever le "y" ?

On aurait pu aussi bien remplacer y par une expression en x

Dans ton cas, nous avons l'équation 9x - 8y = 47 d'où 8y = 9x - 47 et donc y = (9x-47)/8, ce que l'on remplace dans la deuxième équation.

Par contre, tu aurais pu prendre la deuxième équation et y remplacer x ou y, tu as une grande marge de manoeuvre !

PS : Merci, mais mes connaissances en mathématiques sont assez limitées vis à vis de ce qu'il me reste à voir.

[Cygogno]

Je pense avoir compris , j vais essayer de creuser ça un peu plus !

Merci pour ton aide ! :jap: