[Résolu!] Système d'équations - Que vaut a pour 0, 1, infini

[miria]

Hello!

Je tente de résoudre l'énoncé suivant:
[INDENT]Pour quelle(s) valeurs(s) de a E R le système suivant (inconnues x & y) a-t-il:
1) Une seule solution
2) Une infinité de solutions
3) Aucune solution

[INDENT]
{ 2x + ay = 5
x - y = a
[/INDENT]
[/INDENT]

Je pense commencer par le déterminant:
[INDENT]
Le déterminant vaut:
(2 . -1) - (1 . a)

La règle dit:
- Si le déterminant est nul, alors les droites sont // et il y a soit une infinité, soit aucune solution;
- Si le déterminant est non nul, alors les droites sont sécantes et il n'y a qu'une seule solution

On déduit a:
(2 . - 1) - (1 . a) = 0
-2 - a = 0
-2 = a

Vérification faite, le déterminant est nul -> Les droites sont parallèles pour a = -2

Le système devient:
{ 2x - 2y = 5
x - Y = 2

d1: y = x - 5/2
d2: y = x - 2

:id: Ces droites sont // et distinctes, ce qui me permet de répondre au 3) que le système n'admet aucune solution pour a = -2.
Suis-je dans le bon?
[/INDENT]

Je serais dès lors tentée de me précipiter sur le 1) et affirmer que pour toute autre valeur de a, les droites seront sécantes. Autrement dit, ce système admet une et une seule solution pour tout R sauf -2.
(Par la même occasion, comment note-t-on "S = {R sauf -2}" d'une façon académiquement correcte svp?)

Ce qui me laisse le dernier cas: Pour quelle valeur de a le système admet-il une infinité de solutions.
:hein: il me semble qu'aucune valeur ne puisse être attribuée à la variable pour résoudre ce cas de figure. Mais "il me semble" est trop léger. Dans l'équation "ax + by + c", la méthode du déterminant utilisée plus haut me parait insuffisante pour déterminer c.

:help: Comment s'y prendre svp?

Merci pour votre aide!

[Finrod]

lorsque a=-2, c'est x-y = -2 dans le système plus haut.

Lorsque a est différent de -2, la matrice A du système est inversible donc par définition il existe toujours une unique solution (x,y) tel que A(x,y)=(5,a)

R sauf 2 se note au choix

Tu ne peux pas appliquer la méthode du déterminant à ax+by+c = 0 car il faut que la matrice soit carrée, soit en langage courant qu'il y ai autant d'inconnues que d'équations.

il n'y a pas de valeurs de a pour lesquelles il y a une infinité de solutions, car tu as prouvé qu'il y a avait soit 0 soit une solution.

[wserdx]

Tu as étudié les deux cas possibles


Donc tu peux conclure...

[miria]

Merci pour vos réponses, Finrod & Wserdx!