Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

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Colombe09
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Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par Colombe09 » 14 Avr 2021, 21:34

Bonjour à tous , je suis une élève en terminale générale S et je me tourne vers vous car j'ai un exercice en mathématiques que je n'arrive pas à faire : il s'agit d'un exo dont l'énoncé est le suivant :

Résoudre le système :
x+y+z=1 avec
x^2+y^2+z^2=1
Dont x,y,z sont des réels positifs.

J'ai essayé 2 techniques

(1-y-z)^2 +y^2+z^2 =1
1+y^2 + z^2-2y-2z+ 2y +y^2+z^2=1
2y^2 + 2z^2 - 2 y-2z+2yz =0
2(y^2+ z^2-y-z+yz) =0 et là je suis bloquée..

la 2eme méthode est que j'ai fait une équation :

(1-y-z)^2 = 1-y^2-z^2 (qui rejoint un peu la 1ere méthode)
Je trouve : y^2+z^2-y-z+ yz =0 puis je suis encore
bloquée.

Pourriez vous s'il vous plaît m'aider pour cet exo et me dire par quelles méthodes je pourrais résoudre cela ? Cordialement.



hdci
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par hdci » 14 Avr 2021, 21:54

Bonjour,

Une piste sous forme de question : si un nombre réel positif a est strictement compris entre 0 et 1, que peut-on dire de a² par rapport à a ?
(Si vous ne "voyez pas", prenez un exemple avec a=0,5 par exemple ; il faudra bien sûr démontrer cela pour n'importe quel a).

Application : si l'un des trois nombres x, y ou z est strictement plus petit que 1, que peut-on dire de x²+y²+z² par rapport à x+y+z ?
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Colombe09
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par Colombe09 » 14 Avr 2021, 22:11

x^2+y^2+z^2 sera toujours inférieur à la somme de x+y+z ??

hdci
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par hdci » 14 Avr 2021, 22:38

Inférieur ou strictement inférieur ?
Et dans quels cas finalement il y a égalité ?
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par Colombe09 » 14 Avr 2021, 22:45

Strictement inférieur
Et il y a aura égalité si x et y et z=1
Mais je ne vois pas trop en quoi cela peut m'avancer ?

hdci
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par hdci » 14 Avr 2021, 23:21

Colombe09 a écrit:Strictement inférieur
Et il y a aura égalité si x et y et z=1
Mais je ne vois pas trop en quoi cela peut m'avancer ?


Si x=y=z=1 alors x+y+z=3,cela ne marche pas.

Pour rappel, vous cherchez les solutions positives en x, y, et z vérifiant x+y+z=x²+y²+z²=1. Vous venez de conclure que si l'un de ces trois nombres est strictement compris entre 0 et 1, cela ne marchera pas (au passage, il est évident que chacun est inférieur à 1).
Donc quelle est la seule solution possible ?
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par Colombe09 » 14 Avr 2021, 23:44

etant donné que les 3 inconnues sont positives donc supérieures à 0 et que x , y et z sont < 1 alors pk elles ne sont pas comprises ntre 0 et 1 ?
Je n'arrive pas à voir cette solution possible à vrai dire ..

hdci
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par hdci » 15 Avr 2021, 00:14

Colombe09 a écrit: x , y et z sont < 1

Ceci n'est pas vrai : l'énoncé vous dit juste que les inconnues sont positives.
Colombe09 a écrit: alors pk elles ne sont pas comprises ntre 0 et 1 ?

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire.


MAIS :

Si l'une des inconnues est strictement plus grand que 1, alors la somme ne peut pas être égale à 1 (voyez-vous pourquoi ?)
Si l'une des inconnues est non nulle et strictement inférieure à 1, alors son carré lui sera strictement inférieur (vos l'avez déjà identifié), donc la somme des carrés ne pourra pas être égale à la somme des inconnues.

Il reste quoi comme solution ? Faites preuve un peu d'initiative.
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par Colombe09 » 15 Avr 2021, 01:28

Désolé de répondre si tardivement ,
Je pense avoir compris, la seule possibilité serait
si l'une des inconnues est nulle par exemple z =0
Alors nous obtiendrons x+y=x^2+y^2 =1
x=1-y (on substitue)
(1-y)^2 + y^2 =1
1-2y+y^2+y^2 =1
Donc y est égal soit 0 ou 1

Si y=0 alors x=1 •x=x^2 donne 1=1 donc vérifiée
Si y=1 alors x=0 • y=y^2 donne 1=1

Conclusion z=0 y= soit 1 ou 0 et x= soit 1 ou 0 selon y

hdci
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par hdci » 15 Avr 2021, 10:51

Vous avez la bonne approche et globalement vous avez compris.
Mais votre résultat est incomplet ou mal exprimé ; votre conclusion est :
Colombe09 a écrit:Conclusion z=0 y= soit 1 ou 0 et x= soit 1 ou 0 selon y

Ce qui indique que z=0 est la solution, qu'il n'y a pas d'autre possibilité pour z.

Mais vous avez écrit un peu plus haut
Colombe09 a écrit:si l'une des inconnues est nulle par exemple z =0

Et si z n'était pas nulle ?

Finalement, il est possible de donner le résultat avec une seule phrase : dans votre conclusion vous avez pour (x,y,z) le résultat (1,0,0) ou (0,1,0). Il manque une dernière solution compte tenu de ce que je viens d'indiquer... et comment peut-on l'écrire en français (sans formule) de façon très simple (en 10 mots maximum avec sujet/verbe/complément) ?
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Colombe09
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par Colombe09 » 15 Avr 2021, 11:25

La dernière possibilité serait (0,0,1) .

Donc la seule solution est que l'une des inconnues soit égal à 1 , et les 2 autres soient nulles .

hdci
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par hdci » 15 Avr 2021, 13:01

C'est cela.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Colombe09
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par Colombe09 » 15 Avr 2021, 13:03

D'accord
Je vous remercie de m'avoir aidé ^^
Bonne journée à vous :)

danyL
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale//Urgent

par danyL » 15 Avr 2021, 23:01

x+y+z=1 avec
x^2+y^2+z^2=1
Dont x,y,z sont des réels positifs.

on pourrait aussi passer par la géométrie
si mes (lointains) souvenirs sont bons :
x^2+y^2+z^2=1
est l'équation d'une sphère de centre O et de rayon 1
x+y+z=1
est l'équation d'un plan de vecteur normal (1;1;1) et qui passe par exemple par le point (0;0;1)

la solution est l'intersection du plan avec la partie de la sphere qui a les x y et z >= 0
avec un beau graphique 'on voit que' ce sont les 3 points (1;0;0) (0;1;0) et (0;0;1)
(extrémités des vecteurs des axes)

 

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