Système avec paramètre

[Dante0]

Bonjour,

Je fais face à cet exo :

Soit le système suivant :



1) En règle générale, quelle est l'intersection de 3 plans quelconques ?
2) Résoudre le système selon les valeurs du paramètre a.

Pour la première question, l'intersection de 3 plans peut-être une droite ou un plan (si les 3 sont confondus) ou un point exact ?

Pour la 2e je n'ai pas vraiment réussi, je comprends pas trop ce qu'on me demande et quelle valeur de a utiliser.
Après bidouillages je trouve en essayant de résoudre le système avec la méthode du pivot, mais je doute que ce soit correct.

Merci !

[Dlzlogic]

Bonjour,
Soient 3 plans P, Q et R.
Quelle est l'intersection de P et Q (cas général)
Quelle est l'intersection de P et R (cas général)
Quelle est l'intersection de Q et R (cas général)
Je pense que maintenant, vous pourrez répondre à la première question.

Que signifie géométriquement "Résoudre le système selon les valeurs du paramètre a."?

[hammana]

Bonjour,
Soient 3 plans P, Q et R.
Quelle est l'intersection de P et Q (cas général)
Quelle est l'intersection de P et R (cas général)
Quelle est l'intersection de Q et R (cas général)
Je pense que maintenant, vous pourrez répondre à la première question.

Que signifie géométriquement "Résoudre le système selon les valeurs du paramètre a."?

Je pense que l'on demande de calculer x,y,z en fonction de a.
Je suggère d'utiliser la méthode d'élimination: en ajoutant membre à membre les équations 1 et 2 on obtient
-x+2z=4
en faisant de même pour les équations 1 et 3 on obtient
x+(a+1)z=5
Faisnt de même pour ces deux dernières équations on obtient
(a+3)z=9, donc z=9/(a+3)
Je vous laisse vérifier que je ne me suis pas trompé, puis calculer x et y (en fonction de a)

[Dlzlogic]

Je persiste à penser que c'est un exercice de math et non un exercice de calcul. Donc, je répète ma question :

Que signifie géométriquement "Résoudre le système selon les valeurs du paramètre a."?

[chan79]

Bonjour,

Je fais face à cet exo :

Soit le système suivant :



1) En règle générale, quelle est l'intersection de 3 plans quelconques ?
2) Résoudre le système selon les valeurs du paramètre a.

Pour la première question, l'intersection de 3 plans peut-être une droite ou un plan (si les 3 sont confondus) ou un point exact ?

Pour la 2e je n'ai pas vraiment réussi, je comprends pas trop ce qu'on me demande et quelle valeur de a utiliser.
Après bidouillages je trouve en essayant de résoudre le système avec la méthode du pivot, mais je doute que ce soit correct.

Merci !

On peut déjà remarquer que l'intersection des plans définis par les deux premières équations est la droite qui passe par A(-4,-5,0) et dirigée par le vecteur (2,3,1). (il suffit de résoudre avec z comme paramètre)
On remarque que A n'est pas un point du plan défini par la troisième égalité ( quel que soit a)
donc l'intersection des trois plans est soit un point soit l'ensemble vide.
On remplace dans la 3° égalité x par -4+2k, y par -5+3k et z par k.
On est amené à considérer à part la valeur a=-3 pas de solution
si a est différent de -3, on calcule les coordonnées du point d'intersection en remplaçant k par 9/3+a).

[chan79]

On peut déjà remarquer que l'intersection des plans définis par les deux premières équations est la droite qui passe par A(-4,-5,0) et dirigée par le vecteur (2,3,1). (il suffit de résoudre avec z comme paramètre).
En remplaçant z par k, on a le système paramétrique suivant pour cette droite:
x=-4+2k
y=-5+3k
z=0+1k
On remarque que A n'est pas un point du plan défini par la troisième égalité ( quel que soit a)
donc l'intersection des trois plans est soit un point, soit l'ensemble vide.
On remplace dans la 3° égalité x, y et z par les expressions en fonction de k.
On est amené à considérer à part la valeur a=-3. Dans ce cas, pas de solution (pas de point commun aux 3 plans)
Si a est différent de -3, on calcule les coordonnées du point d'intersection en remplaçant k par 9/3+a).

[Dante0]

Bonjour,
Soient 3 plans P, Q et R.
Quelle est l'intersection de P et Q (cas général)
Quelle est l'intersection de P et R (cas général)
Quelle est l'intersection de Q et R (cas général)
Je pense que maintenant, vous pourrez répondre à la première question.

Que signifie géométriquement "Résoudre le système selon les valeurs du paramètre a."?

Ben une droite dans les 3 cas non ? Ca veut dire quoi cas général ?
Pour la résolution je pense que c'est justement "Résoudre le système selon les valeurs du paramètre a." que je ne comprends pas.

Chan je ne te suis pas du tout...

[chan79]

Ben une droite dans les 3 cas non ? Ca veut dire quoi cas général ?
Pour la résolution je pense que c'est justement "Résoudre le système selon les valeurs du paramètre a." que je ne comprends pas.

Chan je ne te suis pas du tout...

généralement l'intersection de deux plans est une droite, et généralement l'intersection de cette droite avec un autre plan est un point.
Il y a des cas particuliers par exemple ici, si a=-3

[Dante0]

généralement l'intersection de deux plans est une droite, et généralement l'intersection de cette droite avec un autre plan est un point.
Il y a des cas particuliers par exemple ici, si a=-3

Mais ca peut etre une droite si les 3 plans se coupent au même endroit ?

[chan79]

Mais ca peut etre une droite si les 3 plans se coupent au même endroit ?

Les deux premiers plans se coupent selon une droite.
Il s'agit donc ici de discuter de l'intersection de cette droite avec un plan dont la position varie en fonction a. On obtient soit un point, soit rien du tout.

[hammana]

Les deux premiers plans se coupent selon une droite.
Il s'agit donc ici de discuter de l'intersection de cette droite avec un plan dont la position varie en fonction a. On obtient soit un point, soit rien du tout.

La résolution complète du système d'équations donne
x=(6-4a)/((a+3), y=(12-5a)/(a+3), z=9/(a+3)
Ce sont les coordonnées dun point d'intersection des 3 plans
Quand le paramètre a varie le plan d'équation 3x-y+az=2 pivote autour de la droite fixe du plan Oxy d'équation 3x-y=2 et coupe l'axe Oz au point z=2/a.
Pour a=-3 le point d'intersection des 3 plans est rejeté à l'infini, parceque le plan variable devient parallèle à la droite d'intersection des deux plans fixes. Cette droite est parallèle au vecteur (2, 3, 1), la normale au plan variable est parallèle au vecteur (6, -3, a), on vérifie bien que pour a=-3 le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

Peut-on demander tout cela à un élève qui en bidouillant trouve pour a une expression du 2nd degré en z?

[Dlzlogic]

Pour moi, la réponse à la question serait la suivante :
Le système admet soit une solution, soit est impossible, soit est indéterminé.
Le calcul et la discussion sur le déterminant donne directement la réponse. L'énoncé ne demande pas les coordonnées du point d'intersection.
A mon avis c'est l'application directe de la méthode de Cramer.

[chan79]

Peut-on demander tout cela à un élève qui en bidouillant trouve pour a une expression du 2nd degré en z?

La première question semble mettre en garde l'élève sur le fait que trois plans n'ont pas toujours 1 point commun. Il faut que soit étudié le cas où a=-3, d'une façon ou d'une autre, à mon humble avis ...

[Dante0]

Je crois que vous allez chercher un peu loin en fait...
Pourquoi spécifiquement pour a =-3 ? Ca saute à ce point aux yeux ?
Quel est ce vecteur (2,3,1) dont vous parlez ? Je suis complètement largué.

En relisant la 2nd question, je comprends toujours pas ce qu'on me demande, quelles sont ces "valeurs" de a ? On va pas essayer au hasard il doit y avoir une logique là dedans...

[Dante0]

Petit up :marteau:

[chan79]

Petit up :marteau:

commence par résoudre le système formé par les deux premières égalités en prenant z comme paramètre. Tu auras un système d'équations paramétriques d'une droite.
Tu remplaces ensuite dans la 3° égalité et tu trouveras les coordonnées du point d'intersection des trois plans (sauf dans un cas)
Tout cela a déjà été expliqué plus haut ...

[Dante0]

Je trouve et
En remplacant dans la 3e equation je trouve
Je comprends toujours pas ce que je fais... :hum:

[chan79]

Je trouve et
En remplacant dans la 3e equation je trouve
Je comprends toujours pas ce que je fais... :hum:

Salut
Tu dois trouver x=2z-4
et tu pourras calculer z puis x et y en fonction de a seulement si a est différent de -3

[Dante0]

Je trouve :

[chan79]

Je trouve :

ce triplet (x,y,z) que tu as trouvé est donc la solution (point d'intersection des 3 plans) sauf dans le cas où a=-3 (les dénominateurs seraient nuls).
Que peut-on dire sans le cas où a=-3 ?