Svp aidez moi à comprendre (limites 1 sm)

[yahumi]

slt svp pouvez vous m'expliquer pourquoi
si g(x) et lim g(x) =lim h(x)=l (quand x tombe vers a)
alors lim f(x) =l

[Peacekeeper]

slt svp pouvez vous m'expliquer pourquoi
si g(x) <f(x)<h(x)
et lim g(x) =lim h(x)=l (quand x tombe vers a)
alors lim f(x) =l

C'est le théorème des gendarmes (ou théorèmes des 3 suites), vous ne l'avez pas démontré en cours?

[yahumi]

C'est le théorème des gendarmes (ou théorèmes des 3 suites), vous ne l'avez pas démontré en cours?

et bien nn pourriez vous m'expliquer un peu

[raito123]

Avec les epsilons si tu veux !!

soit e>0 vu que limite de g et h en a est l alors il existe u et v > 0 tq :
* |x-a|< v => |g(x)-l| -e + l < g(x)
* |x-a|< u => |h(x)-l| h(x) < l + e

soit b = min( u ,v ) alors |x-a|< b => -e + l < g(x) < f(x) < h(x) < e + l => -e+l < f(x) < e + l => |f(x) - l| < e

ça va ? pas trop ennuyeuse la démonstration ?

[yahumi]

Avec les epsilons si tu veux !!

soit e>0 vu que limite de g et h en a est l alors il existe u et v > 0 tq :
* |x-a| |g(x)-l| -e + l |h(x)-l| h(x) -e + l -e+l |f(x) - l| < e

ça va ? pas trop ennuyeuse la démonstration ?

oui cv mais seulement pk le min( u ,v ) et pk on a garder le même e

[Peacekeeper]

Tout d'abord, rappelons l'une des définitions d'une limite de fonction.

Soit f une fonction définie sur ]a,+oo[. On dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers +oo si pour x assez grand (x>/=x1), tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x).

Maintenant, prenons 3 fonction f, g et h 3 fonctions définies sur ]a,+oo[ telles que pour tout x appartenant à ]a,+oo[, g(x)et lim(x->+oo) g(x)=lim(x->+oo) h(x)=l

Soit I un intervalle ouvert contenant l, il contient donc toutes les valeurs de g(x) pour x assez grand (x>x1) et également toutes les valeurs de h(x) pour x assez grand (x>x2).

Soit x3 le plus grand des deux nombres x1 et x2. Pour tout x>x3, g(x) appartient à I ET h(x) appartient à I. De plus, comme g(x)x3 I contient toutes les valeurs de f(x).
Et I étant un intervalle ouvert contenant l, f(x) tend vers l quand x tend vers +oo.

Je viens de m'apercevoir que j'ai donné la démo dans le cas d'une limite à l'infini, mais elle marche exactement pareille avec une limite en un point, il suffit de prendre I= un voisinage de ce point.

[raito123]

oui cv mais seulement pk le min( u ,v ) et pk on a garder le même e

le minimum pour avoir une quantité |x-a| inférieur à la fois à u et à v pour pouvoir utiliser les données !!

et puis pour ta seconde question : par définition de la limite, pour chaque epsilon strictement positif tu dois trouver un rang m tq |x-a| |f(x)-l| 0 dés le début et j'ai trouvé le rang à partir duquel l'implication précédente est juste

[yahumi]

le minimum pour avoir une quantité |x-a| inférieur à la fois à u et à v pour pouvoir utiliser les données !!

et puis pour ta seconde question : par définition de la limite, pour chaque epsilon strictement positif tu dois trouver un rang m tq |x-a| |f(x)-l| 0 dés le début et j'ai trouvé le rang à partir duquel l'implication précédente est juste

merci bcp pour votre aides Peacekeeper et iIr

[Clu]

Tout d'abord, rappelons l'une des définitions d'une limite de fonction.

Soit f une fonction définie sur ]a,+oo[. On dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers +oo si pour x assez grand (x>/=x1), tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x).

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette définition.
C'est plutôt : on dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers +oo si pour tout intervalle ouvert contenant l il existe x0 telle que pour tout x >= x0, f(x) appartient à I.

Ensuite, je ne vois pas bien ce que tu pourrais montrer sachant qu'on ne définit pas ce qu'est une limite en terminale.
Si tu veux comprendre il faut que tu fasses en dessin.

[Peacekeeper]

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette définition.
C'est plutôt : on dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers +oo si pour tout intervalle ouvert contenant l il existe x0 telle que pour tout x >= x0, f(x) appartient à I.

Ensuite, je ne vois pas bien ce que tu pourrais montrer sachant qu'on ne définit pas ce qu'est une limite en terminale.
Si tu veux comprendre il faut que tu fasses en dessin.

Hm, je ne vois pas vraiment la différence avec ce que j'ai dit, à part que le x0 n'est pas le même pour tous les intervalles.

Tu es sûr qu'on ne voit pas la définition d'une limite en Terminale? Moi il me semble l'avoir vu, et après recherche, j'ai trouvé cette démo dans des programmes de Terminale S.

[yahumi]

Hm, je ne vois pas vraiment la différence avec ce que j'ai dit, à part que le x0 n'est pas le même pour tous les intervalles.

Tu es sûr qu'on ne voit pas la définition d'une limite en Terminale? Moi il me semble l'avoir vu, et après recherche, j'ai trouvé cette démo dans des programmes de Terminale S.

je ne suis pas en Terminal mais en 1 ère bac c'est l'année pro