[TS] DM sur la notion de moyenne

[rgabi92]

Bonjour,

Je bloque sur la fin d'un exo théorique sur les différentes moyennes (arithmétique, harmonique, géométrique, quadratique), auriez vous des idées pour me débloquer?

On sait que : ; ; ; ;

4. Montrer que x h ; g a ; h g etc..

Je sais que 2xy x (car 0<x;)y). De même x + y x. Mais je ne sais pas comment montrer que x. Si vous pouviez m'aider pour celui là, je devrais m'en sortir pour les autres.

5. Montrer que si h = g alors on a nécessairement x = y.

donc

car







Or donc



Et là je tourne en rond...

[Ericovitchi]

il suffit de chasser le x+y et simplifier, tu tombes sur y>= x

Quand tu es à il faut casser la racine en élevant au carré des deux cotés puis simplifier par x²y²

[rgabi92]

Pour le 4. Je ne comprends pas, j'ai pas d'égalité de départ (mais je dois arriver à )

Pour le 5., j'ai élevé au carré des deux côtés, mais je ne vois pas où je peux simplifier par x²y², j'ai essayé de passer de l'autre côté et de mettre sur le même dénominateur, mais ça me donne des cubes et me complique encore plus les choses...

[Ericovitchi]

tu veux démontrer que x h donc que
Je t'ai déjà dit. le plus simple est de partir de ce que tu veux démontrer c'est à dire de , ca s'écrit donc donc c'est vrai


ca n'est vraiment pas compliqué :
on élève au carré
on chasse le on simplifie un xy des deux cotés
Ca fait qui s'écrit donc et donc x=y

[rgabi92]

Ok merci, j'ai compris pour les deux, et je pensais pas que c'était correct de partir de ce qu'on voulait démontrer... pour le démontrer ^^

[Ericovitchi]

Si on procède par équivalence, on a le droit car finalement on aurait pu écrire tout aussi bien sauf que c'est moins facile à trouver

[rgabi92]

J'essaye de finir le 4. en essayant de démontrer g ;) a ; h ;) g ; a ;) q et q ;) y, mais à chaque fois je tombe sur 0 ;) (x-y)² ... (Sauf pour q ;) y, je l'ai réussi)

[Ericovitchi]

C'est plutôt sympa de tomber sur 0 ;) (x-y)², ça veut dire que c'est vrai (puisqu'un carré est toujours positif)

[rgabi92]

Ok tout bêtement...

Maintenant je dois démontrer que xy + yz + zx ;) x² + y² + z², mais je vois pas du tout comment m'y prendre :/

[Ericovitchi]

penses que
donc ton inégalité xy + yz + zx x² + y² + z² s'écrit
ou et donc elle est vraie

[rgabi92]

Je comprends ton raisonnement, mais par contre quand je développe (x+y+z)² j'obtiens que des termes positifs... (x+y+z)² = x²+y²+z²+2xy+2zx+2yz

[Ericovitchi]

non l'astuce c'est d'utiliser :
(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=2 (x²+y²+z²-xy-yz-zx)
ton inégalité devient alors évidente

[rgabi92]

Bien vu ! Merci ^^

[rgabi92]

J'aurai encore besoin de 2 petits coups de pouce histoire de terminer l'exercice...

6b. Montrer que (x+y)(y+z)(z+x) 8xyz.

6d. Montrer que (x, y, z et t étant des nombres strictement positifs).

[Ericovitchi]

oui ils ne sont pas simples tes exercices.
alors commençons par la première inégalité.
on a



(parce que si on élève au carré et qu'on ramène tous les termes d'un seul coté on trouve )

Tu multiplies les 3 inégalités membres à membres et on trouve bien
(x+y)(y+z)(z+x) 8xyz

[rgabi92]

C'est bien ça, merci beaucoup.. Le truc est donc d'arriver à anticiper les identités remarquables combinées pour obtenir l'inégalité à démontrer.. Pas facile

[Ericovitchi]

La seconde est connue sous le nom d'inégalité de la moyenne ou aussi inégalité arithmético-géométrique

Pour faire simple en prenant le ln on trouve
et ça c'est l’inégalité de convexité appliquée à la fonction logarithme népérien (concave)

Voir définition de la convexité : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_convexe