DM sur les suites (Treminale S)

[elclementino]

Bonjour,
J'ai un DM qui consiste à calculer la limite d'une suite de plusieurs manière mais je suis bloqué que cette partie:

Soit pour tout n avec

a) Démontrer que pour tout n
Ça c'est bon

b) En déduire à l'aide du fait que pour tout n ,
que pour tout n

Là je n ' y arrive pas directement j 'ai:

Or on a bien:

Donc on a bien pour tout n

c) En déduire par récurrence que pour tout n
Là je ne sais pas si il faut d'abord démonter que pour tout n puis faire ou faire autrement.

d) Conclure sur la limite de la suite
Ici je pensais que comme on prouve avant que et sont compris entre deux chose alors la distance entre (Vn) et 1 est toujours la même à partir d'un rang N, ainsi la limite est bien 1, mais je ne suis pas sur.
Merci d'avance pour votre aide

[phyelec]

Bonjour,

pour la question b)
Comme est compris entre 0 et 1, donc est positif, on aussi positif et donc est toujours positif, soit donc
est le produit de et , comme est compris entre 0 et 1 , est maximum pour Vn=0, donc vous pouvez écrire que et donc
pour la question c)
pour faire une démonstration par récurrence, il faut :
1) vérifier que la propriété est vrai pour les premières valeurs de ,n=0 , n=1,n=2
dans votre cas pour n=0 , ce qui donne bien donc
je vous laisse vérifier pour n=1 et 2
2) on suppose que la propriété est vrai au rang n-1 :
dans votre cas on suppose que est vrai
3) au rang n, on a :
hors donc

donc
donc
La démonstration par récurrence est finie.

question d)
1 me semble la bonne valeur .
mais je pense que vous devez utiliser l'inégalité que vous avez prouver au c et passer à la limite pour le prouver



remarque : si vous avez été en difficulté sur la démonstration par récurrence, il faut retravailler ce point, c'est un grand classique qui tombe souvent dans les exos.

[elclementino]

Merci pour cette réponse détaillée, je regarde tous cela plus en détail demain

[elclementino]

Serait-il possible de repréciser pour la question d).
Je ne vois pas comment retomber sur
Merci d'avance

[triumph59]

On a d'où

En utilisant le théorème des gendarmes, on

Et donc ... tu n'as plus qu'à conclure

[elclementino]

Merci pour cette réponse je n'avais pas vue que l'on pouvais procéder de la sorte, mais maintenant c'est tout à fait claire.
Mais j'aimerais revenir sur la récurrence pourquoi est-on obligé de passer par n-1 , on pourrai tous simplement prouver que la propriétaire est vraie au range n+1?
Merci d'avance

[mathelot]

Merci pour cette réponse je n'avais pas vu que l'on pouvait procéder de la sorte, mais maintenant c'est tout à fait clair.
Mais j'aimerais revenir sur la récurrence pourquoi est-on obligé de passer par n-1 , on pourrait tout simplement prouver que la propriété est vraie au rang n+1?
Merci d'avance

[elclementino]

Merci pour cette réponse je n'avais pas vu que l'on pouvait procéder de la sorte, mais maintenant c'est tout à fait clair.
Mais j'aimerais revenir sur la récurrence pourquoi est-on obligé de passer par n-1 , on pourrait tout simplement prouver que la propriété est vraie au rang n+1?
Merci d'avance

Certes j'ai fais des erreurs mais ou est l’intérêt de mettre ces vidéos?
Dois-je y voir un signe pour résoudre ma récurrence?