[Tle S] Sur les suites

[Anonyme]

Bonjour à tous;

J'ai un petit problème sur un exo dont voici l'énoncé
Soit Un définie par Uo=2 pour tout entier relatif supérieur ou égal à 0
: U(n+1)=((5+Un)^2)/(2Un)

On pose Vn=(Un-rac(5))/(Un+rac(5))

1) Montrer que pour tout n sup. ou égal à 0 : V(n+1)=(Vn)^2
J'ai réussi sans problème je ne met pas les calculs qui sont vraiment
trop lourds pour être lisible

2) en déduire que pour tout n sup. ou égal à 0 : Vn = (Vo)^2^n

C'est ici que je bloque, je ne vois vraiment pas. Donc si vous aviez une
piste je cous en serai reconnaissant.


Merci d'avance

[Anonyme]

> 2) en déduire que pour tout n sup. ou égal à 0 : Vn = (Vo)^2^n
>
> C'est ici que je bloque, je ne vois vraiment pas. Donc si vous aviez une
> piste je cous en serai reconnaissant.
>

C'est quasi immédiat par récurrence sur n...

[Anonyme]

joe :

> 2) en déduire que pour tout n sup. ou égal à 0 : Vn = (Vo)^2^n

À partir de ta formule,
avec v0 on peut calculer v1,
avec v1 on peut calculer v2,
....
avec v(n-1) on peut calculer vn.

exemple : Calcul de v7
v(7)=v(6)^2=v(5)^4=v(4)^8=v(3)^16=v(2)^32=v(1)^64=v(0)^(2^7)

Tu vois bien ce qui se passe en calculant...
maintenant pour le faire proprement, comme on t'as dit, par
récurrence.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Vincent SPRIT a écrit :[color=green]
>>2) en déduire que pour tout n sup. ou égal à 0 : Vn = (Vo)^2^n
>>
>>C'est ici que je bloque, je ne vois vraiment pas. Donc si vous aviez une
>>piste je cous en serai reconnaissant.
>>
>
>
> C'est quasi immédiat par récurrence sur n...[/color]

Merci beaucoup

[Anonyme]

Michel a écrit :

> joe :
>
>[color=green]
>>2) en déduire que pour tout n sup. ou égal à 0 : Vn = (Vo)^2^n
>
>
> À partir de ta formule,
> avec v0 on peut calculer v1,
> avec v1 on peut calculer v2,
> ...
> avec v(n-1) on peut calculer vn.
>
> exemple : Calcul de v7
> v(7)=v(6)^2=v(5)^4=v(4)^8=v(3)^16=v(2)^32=v(1)^64=v(0)^(2^7)
>
> Tu vois bien ce qui se passe en calculant...
> maintenant pour le faire proprement, comme on t'as dit, par
> récurrence.[/color]

Merci beaucoup, j'avais tellement fais de récurrence dans l'exos d'avant
que je pensais qu'on changer de sujet la` )

Voila` ce que j'ai fait, si vous pouviez me dire ce que vous en pensez :

Notons Pn la proposition "Vn=(Vo)^(2)^n"
- Au premier rang (n=0) on a :
(Vo)^(2)^n=Vo^(2)^0=Vo La proposition Po est donc vraie.

-On suppose Pn vraie pour un certain n
D'apre`s 1) on a V(n+1)=(Vn)^(2)
Par hypothe`se de récurrence on en déduit successivement : V(n+1)=((Vo)^(2)^n)^(2)
V(n+1)=((Vo)^(2*2^n))
V(n+1)=Vo^2^(n+1)

Ainsi P(n+1) est vraie et d'apre`s le principe de récurrence Pn est vraie
pour tout n sup. ou égal a` 0

[Anonyme]

Michel a écrit :

> joe :
>
>[color=green]
>>2) en déduire que pour tout n sup. ou égal à 0 : Vn = (Vo)^2^n[/color]

> Tu vois bien ce qui se passe en calculant...
> maintenant pour le faire proprement, comme on t'as dit, par
> récurrence.

Merci beaucoup, j'avais tellement fait de récurrence dans l'exo d'avant
que je pensais qu'on changeait de sujet la` )

Voila` ce que j'ai fait, si vous pouviez me dire ce que vous en pensez :

Notons Pn la proposition "Vn=(Vo)^(2)^n"
- Au premier rang (n=0) on a :
(Vo)^(2)^n=Vo^(2)0=Vo La proposition Po est donc vraie.

-On suppose Pn vraie pour un certain n
D'apre`s 1) on a V(n+1)=(Vn)^(2)
Par hypothe`se de récurrence on en déduit successivement :
V(n+1)=((Vo)^(2)^n)^(2)
V(n+1)=((Vo)^(2*2^n))
V(n+1)=Vo2^(n+1)

Ainsi P(n+1) est vraie et d'apre`s le principe de récurrence Pn est vraie
pour tout n sup. ou égal a` 0

[Anonyme]

joe a écrit :
> Bonjour à tous;
>
> J'ai un petit problème sur un exo dont voici l'énoncé
> Soit Un définie par Uo=2 pour tout entier relatif supérieur ou égal à 0
> : U(n+1)=((5+Un)^2)/(2Un)
>
> On pose Vn=(Un-rac(5))/(Un+rac(5))
>


On sait maintenant que V(n+1)=(Vn)^2 et que Vn = (Vo)^2^n
Mais j'ai encore des proble`mes pour la suite

4) Calculer Vo et montrer qie |Vo|oo n->oo
Un tend-elle vers sa limite par valeurs supérieures ou inférieures ?

La 5 je n'y arrive. J'ai juste pu constater en calculant que rapidement
Un~2.236 soit environ rac(5), ce doit e^tre la limite.

[Anonyme]

joe :

> 5) Calculer lim Vn et lim Un
> n->oo n->oo
> Un tend-elle vers sa limite par valeurs supérieures ou
> inférieures ?

v(n) ne pose plus problème.
Déduis-en maintenant l'expression de u(n) en fonction de n.
La limite se calcule alors assez agréablement.
Tu pourras alors effectivement prouver que Un tend vers rac(5).

Pour la fin de la question on demande juste si
u(n)>rac5 ou u(n)<rac(5).

--
Michel [overdose@alussinan.org]