La formule à connaître est la suivante :
^N}{(1+t)^N-1})
Elle indique que payer N fois, périodiquement, la somme M avec un taux d'intérêt t*100 % pour une période, rembourse une somme de départ
.
Tu n'as pas indiqué quelle est la périodicité ; ça compte ! Si les paiements s'effectuent tous les mois, le résultat ne sera pas le même que si les paiements s'effectuent tous les ans ! On va supposer qu'il s'agit d'un paiement mensuel. Tu dois d'abord calculer le taux mensuel, car 3,5% est un taux annuel. Classiquement, les banques disent que le taux mensuel est "conventionnellement" calculé comme la douzième partie du taux annuel. Dans ces conditions le taux mensuel serait de u=3,5/12 % (soit u=0,0029166666...). En fait le vrai calcul doit tenir compte du fait que les intérêts sont calculés et capitalisés mensuellement, par conséquent il faut utiliser le taux t donné par la formule :
^{12}=1.035)
,
ce qui donne t=0,0028708987 ...
Pour ce qui me concerne, il n'y a pas photo. C'est bien le taux mensuel ! Mais c'est à toi de décider si tu veux prendre ce taux vrai, ou le taux "triché" cité plus haut (0,0029166666...) appliqué semble-t-il couramment par les banques
Une fois la valeur de t calculée, tu peux ensuite déterminer M :
^N}{(1+t)^N-1}=\frac{C_0t}{1-(1+t)^{-N}})
^{-240}}=A)
(je te laisse calculer A !)
Avec le taux triché u cité plus haut, on trouverait :
^{-240}}=B)
On constate que B > A ! comprend pourquoi les banques préfèrent le taux triché !
Encore une fois, à toi de choisir, en devinant ce qu'attend ton professeur ...
Je continue seulement avec le taux vrai t. Si on refait le calcul après dix ans de paiements, on peut considérer que les 120 premères mensualités ont en fait exactement remboursé le capital de départ
tel que :
^{120}}{(1+t)^{120}-1}=\frac{C_1t}{1-(1+t)^{-120}})
C'est-à-dire que
serait égal à :
^{-120}}{t}=C)
(à toi de calculer...)
Tout se passe exactement comme s'il y avait eu deux prêts simultanés. D'une part un prêt de C remboursé en 120 mensualités de A, et un autre prêt de 270000-C soit D pour lequel
aucun remboursement n'aurait encore eu lieu. Dans ces conditions, la somme restant due pour ce dernier prêt serait ce capital augmenté des intérêts composés correspondants, soit :
^{120}=E)
ou, si tu préfères :
ce qui revient exactement au même puisque
Donc, la somme restant due est E. Il est tout à fait logique que cette somme soit précisément égale au nombre trouvé C ci-dessus pour le premier prêt (je suppose que tu l'as constaté !) : en effet, cette somme due au bout de dix ans s'apprête à être remboursée en 120 mensualités de A...
Il va de soi qu'aucun calcul ne peut être juste étant donné que la pratique courante est d'arrondir les sommes au centime d'euro...
En réalité, un calcul plus précis me donne 8 chiffres après la virgule pour M qui n'est d'ailleurs toujours pas exact...parce que ma calculatrice n'a que 12 chiffres de précision. Il est clair qu'il est hors de question pour la banque de réclamer des millionnièmes d'euros. Alors elle arrondit !
