DM sur les polynômes

[steevens]

Bonjour, j'ai un problème sur cet exercice, pouvez vous m'aider svp. Merçi


f est la fonction définie par f(x)=1/x et (H) est sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i ; j)

1°) Tracer la courbe H.

2°) M est un point de (H) d’abscisse x et I un point de coordonnées (a ; B).
Démontrer que x²IM²=x^4-2ax^3+(a²+ B²)x²-2Bx+1.

3°) On note p le polynôme de degré 4 défini par p(x)=x²IM² lorsque x est différent de 0, et p(0)=1.On se propose dans cette question, de déterminer les points I particuliers, s’il en existe, pour lesquels p(x) est le carré d’un polynôme du 2iéme degré de la forme x²- ax+h, où h est un réel quelconque.
a) Montrer qu’il existe 2 points I, et 2 seulement, pour lesquels p(x) = (x²- ax+h) ².Notez F et F’ ces 2 points.
b) Montrer que F et F’ sont symétriques par rapport à O. Placez ces points.

4°) M est un point quelconque de (H). On pose FM=r et F’M=r’.
a) Montrer que |x| FM = x²-(racine2)x+1.
b) Déduisez-en que si x est strictement positif, alors : r=x+y-(racine2)
Quelle est alors l’expression de r’ en fonction de x et y ?
c) Que deviennent les expressions de r et r’ lorsque x est strictement négatif ?

5°) Déduisez de la question précédente que |MF-MF’| est indépendant de la position de M sur la courbe (H).

Remarque : En géométrie, on appelle hyperbole de foyers F et F’, la courbe constituée des points M du plan tels que |MF-MF’| soit constante (égale à un nombre donné strictement positif). Vous venez de prouver que (H) est une hyperbole, et ainsi de justifier le nom d’hyperbole donné à (H) dès la classe de seconde.
En outre, on démontre que si (H) est une hyperbole, au sens de la géométrie, alors on peut toujours trouver un repère dans lequel (H) a pour équation y=k/x avec k constante non nulle.


Voilà j'ai réussi la courbe et la question 2. Mais je suis bloqué sur la 3.
Merci beaucoup pour votre aide.