DM sur les équations différentielles

[elclementino]

Bonjour, je suis en terminale avec option mathématique et j'ai une application à résoudre avec les primitives mais je ne suis pas sure de ce que j ai trouver. Aussi j aimerais vous faire part de ce que j ai écrit. Voici l'énoncé:
Application : Déterminer l’ensemble des primitives sur de f définie sur par

Pour trouver l'ensemble des primitives sur je modifie f(x) pour retrouver ma forme
Ainsi
On reconnait f de la forme
avec u'(x)=3 dont la primitive est u(x)=3x
d’où une primitive de f

L'ensemble des primitives de f sur sont les fonction F: x-> avec k appartient à

Voilà comment je résolverais le problème même si il y au dessus de cette application l indication suivante:


Merci d'avance

[phyelec]

Bonjour,

si F(x) est la primitive de f alors F'(x)=f(x) , je pense que vous devriez déjà valider ce point.

[elclementino]

J'ai peut-être trouvé mon erreur:
Pour je vois comme une constante multiplicative et non comme une fonction à part entière.
Je vais donc regarder la remarque plus en détail mais pouvez vous m éclairer un peut sur celle ci ?
Merci

[phyelec]

bonjour,

oui, il faut bien ajouter la constante k car la dérivée d'une constante est nulle.
pour rappel la dérivée g(x)*h(x) est g'(x).h(x) +g(x).h'(x), identifier g(x) et h(x) dans F(x), puis dérivée, est-ce que vous retrouvez f(x)?

Regarder votre cours sur les intégrales, primitives et dérivées de fonctions à une variable.

[elclementino]

Alors le souci c est que je n est pas fait de cour sur les intervalles d'où la remarque juste avant l application 1 (cf la photo en lien). Il faut donc que je regarde plus en détail cette remarque ?

[Black Jack]

Bonjour,

Si l'intégration par parties est connue :

f(x) = x².e^(3x)

Poser x² = u --> 2x dx = du
et poser e^(3x) dx = dv --> v = (1/3).e^(3x)

S x².e^(3x) dx = (x²/3).e^(3x) - (2/3).S x.e^(3x) dx
---
S x.e^(3x) dx

Poser x = u --> dx = du
et poser e^(3x) dx = dv --> v = (1/3).e^(3x)

S x.e^(3x) dx = (x/3).e^(3x) - (1/3) S e^(3x) dx
S x.e^(3x) dx = (x/3).e^(3x) - (1/9) e^(3x)
---
S x².e^(3x) dx = (x²/3).e^(3x) - (2/3) * [(x/3).e^(3x) - (1/9) e^(3x)] + C

S x².e^(3x) dx = e^(3x) * (x²/3 - (2/9).x + 2/27) + C
****************
Si l'intégration par parties n'est pas connue ... on suit les indications de l'aide :

F(x) = (ax² + bx + c) * e^(3x) + C

F'(x) = (2a.x + b)*e^(3x) + 3.e^(3x) * (ax² + bx + c)
F'(x) = e^(3x) * (3a.x² + (3b+2a).x + (b + 3c))

--> f(x) = e^(3x) * (3a.x² + (3b+2a).x + (b + 3c))
mais on a aussi f(x) = x².e^(3x)

En identifiant les coefficients de même puissance en x des 2 expressions, on a le système :

3a = 1
3b+2a = 0
b+3c = 0

système qui résolu donne : a = 1/3 ; b = -2/9 et c = 2/27

--> F(x) = ((1/3).x² - (2/9)*x + 2/27) * e^(3x) + C
************

[elclementino]

Merci beaucoup pour cette réponse complète je vais reprendre tous cela sans regarder en détail et si je bloque je viendrai voir.
Merci encore