Sur les complexes (QCM)

[nico033]

Bonjour, nous avons corrigé une question que je ne comprend pas pourriez vous me lexpliquer sil vous plait merci d'avance

voici le sujet:

Soit A et B d'affixes respectives zA = i et zB = racine carrée de 2 dans un repere orthonormal. Trouver l'affixe du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral avec (AB,AC) = pi/3.

Correction faite en classe:

C doit etre l'image de B par la rotation de centre A et d'angle pi/3 (je ne [B]comprend pas pourquoi cest obligatoirement C qui est l'image?)[/B]

zC -zA = exp(ipi/3)*(zB-zA) (pourquoi avoir fais ça?)

[maturin]

ben dans ton triangle équilatéral tu as trois angles de PI/3
donc t'as ces 3 affirmations qui sont vrai:
C image de B par une rotation de centre A et d'angle PI/3
A image de C par une rotation de centre B et d'angle PI/3
B image de A par une rotation de centre A et d'angle PI/3

dans ton exo ils te proposent de prendre la première. Si tu ne comprends pas fait un dessin tu devrais voir ces 3 rotations.

attention tes angles sont orientés donc l'image de B est bien C par une rotation de +pi/3.

Si on prend la première de ces affirmations c'est pour avoi zC plus facilement.

Pour l'écriture complexe c'est l'écriture d'une rotation que tu as du voir en cours:
Si N image de M par une rotation de centre P et d'angle a
alors zN-zP=e(ia)*(zM-zP)


Si tu l'as pas vue en cours voici la démo :
zN-zP c'est l'affixe du vecteur PN
zM-zP c'est l'affixe du vecteur PM

tu vas retrouver donc tes 2 vecteurs ont même module.
Et
donc donc tes deux vecteurs ont une angle de rotation de a entre eux.

[nico033]

merci bcp jai compris

[nico033]

jai une autre question sur une correction faite en classe

voici le sujet:

soit n appartient a N
Le nombre (1 + i racine de 3)^n est réel sssi:
n =1[3] (le [] veut dire modulo ) n = 2[3] n = 0[3] n =0[6].

correction faite en classe:

n=0[3] ( avec 3 barres au lieu de = ) signifie n=3k+0 (pkoi???)
n=1[3] ( avec 3 barres au lieu de = ) signifie n=3k+1
n=2[3] ( avec 3 barres au lieu de = ) signifie n=3k+2
n=0[6] ( avec 3 barres au lieu de = ) signifie n=6k+0

on a calculer le module et largument du complexe (1 + i racine de 3)
est on a trouve r = 2 et teta = pi/3. (ça jai compris)

z = (1 + i racine de 3)^n = ( 2(1/2 + i.V3/2) )^n = (2^n).( cos(pi/3)+isin(pi/3) )^n = 2^n.( exp(i.pi/3) )^n = 2^n.exp(i.n.pi/3) (ca aussi jai compris)

z = (2^n).( cos(n.pi/3)+isin(n.pi/3) ) (jai compris aussi)

a partir de la je ne comprend plus:

z réel si sin(n.pi/3) = 0 (pourquoi on s'occupe de cette partie?)

z réel si n.pi/3 = k.pi (pkoi??)

z réel si n=3k (pkoi?)

z réel si n=0[3]

[maturin]

n=0[3] ça veut dire n égal 0 modulo 3.
Quand tu parles de modulo 3 donc qu'en gros si tu rajoutes ou retire 3 à ton nombre ne change rien. Donc 27[3] sera égal à 24[3].
Donc un nombre qui se met sous la forme 0+3k sera équivalent à 0 (car en retirant k fois 3 on tombe sur 0).

Et tout nombre de N peut se ramener en lui retirant suffisament de fois 3 à 0, 1 ou 2.

Et inversement si un nombre est égal à 0[3] alors il s'écrit forcément sous la forme 0+3k.


Donc tu peux dire que n=a[b] ssi il existe k dans N tel que n=a+bk.
C'est un genre de définition du modulo.

De la même façon tu verras souvent des [2Pi] pour dire que quand tu ajoutes 2Pi à ton angle ça change rien.



pour l'autre point tu as:
z = (2^n).( cos(n.pi/3)+isin(n.pi/3) )
la partie imaginaire est donc 2^n*sin(n.pi/3)
pour que le nombre soit réel il faut que la partie imaginaire soit nulle, hors 2^n n'est jamais nul donc sin(n.pi/3) doit être nul.
la fonction sin(x) s'annule pour x=k.pi pour tout k de Z
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