DM sur les applications de la dérivation

par **baboo92** » 25 Fév 2009, 14:46

Bonjour à tous,
J'ai un petit problème sur un exercice de mon dm :

la question est : soit f la fonction définie sur R par
f(x) = (x^2 - 5x + 2 ) / (x-1)

En utilisant la dérivation, justifier que l'équation f(x)=0 admet une unique solution a dans l'intervalle [2; +;)[

J'ai dérivé la fonction et j'ai obtenu :
f'(x)=(x^3 +7x^2 - 9x + 5 ) / (x-1)^2

Seulement, après, je n'arrive pas à faire un tableau de signe correct pour obtenir le signe de f'(x), puisqu'il s'agit dune fonction du troisième degré.

Je suppose qu'après avoir fait le tableau de signe de la dérivée, il faut ensuite faire le tableau de variation de la fonction f et en déduire la solution, mais je bloque vraiment pour x^3 + 7x^2 -9x +5
on ne peut pas mettre comme facteur x et ainsi obtenir
(x) ( x^2 + 7x - 9 ) + 5 car après le tableau est faut ...

donc en gros, mon problème c'est que je n'arrive pas à étudier le signe d'une fonction du troisième degré.

Merci d'avance pour votre aide

par **johnjohnjohn** » 25 Fév 2009, 15:12

baboo92 a écrit:Bonjour à tous,
J'ai un petit problème sur un exercice de mon dm :

la question est : soit f la fonction définie sur R par
f(x) = (x^2 - 5x + 2 ) / (x-1)

En utilisant la dérivation, justifier que l'équation f(x)=0 admet une unique solution a dans l'intervalle [2; +;)[

J'ai dérivé la fonction et j'ai obtenu :
f'(x)=(x^3 +7x^2 - 9x + 5 ) / (x-1)^2

Seulement, après, je n'arrive pas à faire un tableau de signe correct pour obtenir le signe de f'(x), puisqu'il s'agit dune fonction du troisième degré.

Merci d'avance pour votre aide

Tu veux pas nous livrer les détails de ton calcul ? je ne trouve pas la même chose que toi pour la dérivée. Ni toi ni moi ne sommes à l'abri d'une erreur certes. Mais si tu nous donnes le détail quelqu'un sur le forum pourrait pointer une erreur.

Sinon ta démarche est bonne

par **baboo92** » 25 Fév 2009, 15:22

euh
f est une fontion dde la forme u/ v
donc f' = u'v-uv' / v^2

avec u = x^2 - 5x + 2
et v = x - 1
u' (x) = 2x - 5
v' = x

f'(x) = (2x -5 ) ( x - 1 ) - ( x) ( x^2 - 5x + 2 )
f'(x ) = ( 2x^2 - 2x - 5x + 5 ) - ( x^3 - 5x^2 + 2x )
f'(x) = ( 2x^2 - 2x - 5x + 5 - x^3 + 5x^2 - 2x )
f'(x) = -x^3 + 7x^2 - 9x + 5

par **baboo92** » 25 Fév 2009, 15:26

mince
j'ai oublié de précisé que c'est
f'(x) = (-x^3 + 7x^2 - 9x + 5 ) / (x-1)^2

par **baboo92** » 25 Fév 2009, 16:07

jai trouvé mon erreur
merci quand meme

par **johnjohnjohn** » 25 Fév 2009, 17:05

v = x - 1 soit

v' = x non

j'imagine que c'est ça l'erreur que tu as corrigée ?

par **LeFou.** » 25 Fév 2009, 17:38

Je pense aussi ^^
Pour la dérivée
Sa te donne f'(x)= [(2x-5)(x-1)-(x²-5x+2)] / (x-1)²
f'(x)= (2x²-2x-5x+5-x²+5x-2) /(x-1)²
f'(x)= (x²-2x+3)/(x-1)²
Le signe de f' dépend du numérateur. Car carré au dénominateur.
Tu fais un petit delta tu trouves les 2 solutions et tu fais ton tableau de signe :)

par **baboo92** » 25 Fév 2009, 18:37

merci
mais les résultats ne correspondent pas à la fonction ( elle ne varie pas de la même façon, sur la calculette, est-ce que c'est normal) ?

par **LeFou.** » 25 Fév 2009, 18:53

Tu as bien comme racines du trinôme

Sinon, regarde bien ta courbe elle correspond forcément mais des fois elles ont des allures vicieuses; comme celle-ci, regarde bien !

par **baboo92** » 25 Fév 2009, 19:18

euh nan j'ai x1= 6+ racine 29
et x2 = 6 - racine 29

par **LeFou.** » 25 Fév 2009, 19:20

le delta de x²-2x-2
D = b² -4ac = 4-4(-2) = 4+ 8 =12
Pour les solutions , regarde au-dessus.

par **baboo92** » 25 Fév 2009, 19:31

j'ai enfin trouvé la bonne réponse
f'(x) = (x^2-2x +3)/(x-1)^2

donc il n'y a pas de racine , et la fonction varie comme sur la calculatrice.

merci beaucoup

par **LeFou.** » 25 Fév 2009, 19:38

Oui en effet c'est cela, désolé pour ma petite erreur, je vais trop vite des fois :D

DM sur les applications de la dérivation

DM sur les applications de la dérivation

Qui est en ligne