DM sur la géométrie dans l'espace 2nde

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Emmilia
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DM sur la géométrie dans l'espace 2nde

par Emmilia » 20 Oct 2007, 19:08

Bonsoir à tous = )
Alors voilà j'ai un problème pour des questions de mon DM de maths (je suis en seconde).
(N'ayant pas de scaner j'ai essayé de faire la figure du mieux possible sur paint) La voici: Image

Sur les arrêtes d'un cube, on marque les points I,J,K tels que: AI=AJ=AK=x où x est un réel donné strictement positif et strictement inférieur à la longueur a de l'arrête du cube.
Questions:
1) Pourquoi le triangle IJK est-il équilatéral? Calculer son aire.
2) Comment appelle-t-on le solide AIJK? Calculer son volume.
3) La perpendiculaire menée par A au plan (IJK) coupe ce plan en H.
Calculer AH en fonction de x.


Pour la première question, j'ai mis:
A est le point d'intersection des droites AJ, AI et AK et A se trouve à égale distance de chaque point. Etant donné que (AJ), (AI) et (AK) sont à la fois médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices, le triangle IJK est équilatéral.
(Vu que je n'aimais pas trop j'ai ajouté ça:)
On peut le vérifier avec le théorème de Pythagore.
Les angles d'un cube sont des angles droits. A=90°.
On peut donc utiliser Pythagore.
Dans le triangle AIK, rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a:
IK²= AI² + AK².
IK²=x² + x²
(au résultat je trouve IK=x * (racine carrée de 2))
Je le fais pour les deux autres côtés et je conclus:
Puisque IK=KJ=JI, le triangle IJK est équilatéral.

Ensuite pour l'aire j'ai prolongé (AI) pour qu'il coupe (JK) et j'ai placé M au point d'intersection de ces deux droites.
On sait que dans un triangle équilatéral, les médianes sont aussi les hauteurs. Donc (IM)= hauteur du triangle IJK.
On peut donc utiliser Pythagore.
Dans le triangle IJM rectangle en M, d'après le théorème de Pythagore, on a:
IJ²= JM² + MI ²
(x*racine carrée de 2)²=(1/2*x*racine carrée de 2)² + MI²
(au résultat je trouve racine carrée de 3/2 x².)
On peut maintenant calculer l'aire de IJK.
Aire IJK= (x²*racine carrée de 3) /2

(je ne suis pas du tout sûre de mon résultat).


2)On appelle le solide AIK un tétraèdre. On sait qu'un coin de cube est un tétraèdre dont les faces AJK, AKI, et AKIJ sont des triangles rectangles en A. Lorsque d'après la propriété, AI=AJ=AK, on parle d'un coin de cube.
On prendra comme base AIK.
Volume AIJK= 1/3 * AI * AJ * AK (c'est la formulaire que j'ai trouvé dans mon livre car je n'ai pas encore étudié comment calculer le volume d'un tétraèdre).
V= 1/3 *x*x*x=1/3*x^3=x^3/3 cm^3.


3) Alors là je n'y arrive plus >< J'ai essayé avec (B*h)/3, mais ça ne marche pas, ça ne me donne pas le résultat en fonction de x vu que les x^3 s'annulent..

Voilà si vous pourriez m'aider ce serait agréablement gentil de votre part ^^
Merci d'avance à tous ceux qui essaieront et bonne soirée.

En résumé je n'ai pas compris si la question 2 est bonne pour le volume du tétraèdre.



Emmilia
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par Emmilia » 20 Oct 2007, 20:18

J'ai beau continuer à chercher j'ai du mal >< Et un copain m'a appelé c'est pareil et on ne trouve pas les mêmes résultats ><
Vu que mon sujet était en deuxième page j'ai préférais poster aussi..^^

Emmilia
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par Emmilia » 20 Oct 2007, 21:10

J'ai beau continuer à chercher j'ai du mal >< Et un copain m'a appelé c'est pareil et on ne trouve pas les mêmes résultats ><
Vu que mon sujet était en deuxième page j'ai préférais poster aussi..^^
et j'ai édité certaines choses que j'ai enfin trouvé =)

flaja
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par flaja » 20 Oct 2007, 23:35

Bonjour.
Tu es dans une super seconde !
Ton post est un peu long.
Réponse aux premières questions :
Dans ta démonstration, il y a beaucoup de superflu. Réduis la à ce qui suit :
Le triangle AIJ est rectangle isocèle avec AI=AJ=x donc IJ = x sqrt(2)
Les 3 tiangles AIJ, AJK et AKI sont égaux donc aussi leurs hypoténuses IJ, JK, KI.

Aire d'un triangle équilatéral de côté a : A = a^2 sqrt(3)/4
explication : A = base * hauteur / 2
avec base = a ; hauteur = a sin 60° = a sqrt(3)/2

Les droites AI et JK ne se coupent pas car elles ne sont pas dans le même plan.

Le solide est un tétraèdre
Le volume du tétraèdre est V = 1/6 * AI * AJ * AK (quand AI,AJ et AK sont perpendiculaires)

Mais la formule habituelle est V = base * hauteur / 3
Par contre pour la hauteur, ce n'est pas simple :
le pied H de la hauteur issue de A est le milieu du triangle IJK soit le point (x/3,x/3,x/3)
(la moyenne des 3 points I,J et K)
et AH^2 = 3 x^2/9 = x^2/3
AH = x / sqrt(3)
d'où V

Emmilia
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par Emmilia » 21 Oct 2007, 14:53

Merci beaucoup j'ai beaucoup mieux compris!
Je vais enlevé tout le superflu ^^
Encore merci!

 

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