TS DM sur l'espérance d'une loi binomiale

[Baby14girl]

Bonjour à tous je suis coincée :marteau: j'ai un DM à faire et j'arrive même pas la première question (enfin si mais c'est la prof qui m'a donné la réponse alors...) j'espère que vous pourrez me guider merci d'avance à tous ceux qui m'apporteront leur savoir :id:

Esprance d'une loi binomiale :
L'objectif de cet exercice est de calculer l'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p. On note q le nombre 1 - p
A) soit f la fonction définie sur |R par f(x) = (px + q) ^n
1) Développer f(x) à l'aide du binôme de Newton.
2) Vous disposez, à présent, de deux expressions de f(x) : l'une est la puissance n ième d'une fonction affine
l'autre est une fonction polynôme

a) Ecrivez f sous la forme u^n, explicitez u(x).
b) sachant que la dérivée de la fonction u^n est égale à n u' u^n-1, dérivez f.
c) Dérivez l'expression polynomiale de f.

B)1) Donner l'expression de l'espérance mathématique E(X) de la loi binomiale X de paramètres n et p.
2) A l'aide de la partie A, en calculant f'(x) pour une valeur particulière de x, prouver que : E(X) = n p.




Merci à tous

[Elsa_toup]

Bonsoir,

A.
1). Ben il faut développer avec le binôme de Newton, donc ça donne quelque chose comme .

2). a. Là, il n'y a pas grand-chose à faire, sinon de dire que u(x)=px+q.
b.
c.

Dis-moi déjà si ça c'est clair pour toi, et essaie de faire la suite peut-être...
Si ça bloque, je suis dans le coin. :happy2:

[Baby14girl]

Bonsoir,

A.
1). Ben il faut développer avec le binôme de Newton, donc ça donne quelque chose comme .

2). a. Là, il n'y a pas grand-chose à faire, sinon de dire que u(x)=px+q.
b.
c.

Dis-moi déjà si ça c'est clair pour toi, et essaie de faire la suite peut-être...
Si ça bloque, je suis dans le coin. :happy2:

Déjà, je te remercie pour ton aide :ptdr:
Ensuite, j'ai continué...

Pour le B)1) je trouve :

E(X) = sigma pour k allant de 0 à n de k * (n parmi k) * p^k (1-p)^n-k = np

Et pour le B)2) là par contre je ne sais pas comment faire ni quelle valeur prendre ni comment calculer. Pourrais-tu me guider? et est-ce-que le B)1) est juste?

Merci beaucoup :happy2:

[Elsa_toup]

Bonsoir,

Oui, c'est cela pour B1 (c'est d'ailleurs confirmé par B2).
En prenant l'expression du 2b de f '(x), on voit que f '(x) = np px+q=1, soit .

Donc f '(1) = np.

Il reste à montrer que f '(1) = E[X].
en prenant l'expression du 2c de f '(x), on voit bien que f '(1) = E[X].

Donc on a bien que E[X]=np.

[Baby14girl]

je te remercie beaucoup beaucoup beaucoup!!!!!