Dm sur equation différentielle Ts

[pitchoune55]

bonjour voila je bloque sur l'exercice suivant ( il mélange maths et physique ). Un petit cou de pouce serait le bienvenue , merci...

une bille de masse m tombe verticalement, sans vitesse initiale, dans un tube rempli d'un liquide visqueux. On constate experimentalement qu'aprés une phase d'accélération, la bille atteint une vitesse limite que l'on veut déterminer à partir des données experimentales. La bille est soumise aux forces extérieures suivantes:
- son poids vecteur P = mg
- la pousée d'Archimède vecteur pi ( 3.14)
- une force de frottement fluide vecteur (Fk) proportionnelle à la vitesse, de valeur kv, k étant une constante positive qui dépend du volume de la bille et de la viscosité du liquide.
La deuxiéme loi de Newton permet d'ecrire que le vecteur accélération aG du centre d'inertie G de la bille vérifie à chaque instant :
( en vecteur) P + pi + Fk = maG .

On obtient ainsi, par projection sur l'axe vertical, que la vitesse v(t) est une solution de l'equation différentielle (E) :
my' = -ky + m'g où m' est la différence entre la masse de liquide de même volume que la bille.

1) Résoudre l'équation différentielle (E).
2) détreminer la fonction v en utilisant les conditions initiales.
3) déterminer la vitesse limite v(infini) de la bille en fonction des divers paramètres.
4) étudier les variations de la fonction v et construire son tableau de variation.

J'ai fait la premiere et la deuxieme question :

1) y' = (-k / m) y + (m'g / m)
Donc les solutions de (E) sont les solutions dérivables sur R du type :
v(t) = C exp( -kt / m) + ( m'g / k )
où C est une constante reelle.

2) dans les conditions initiales la vitesse est nulle donc v(0) = 0
alors on obtient C = ( -m'g / k )
Donc v(t) = ( -m'g / k) exp ( -kt / m) + (m'g / k )
= ( -m'g / k ) ( exp ( -kt / m ) + 1 )

Ensuite je bloque sur la troisiéme question pouvez vous m'aidez svp ??
et déja me dire si ce que j'ai fait est correct ?
MERci d'avance !

[Imod]

Je n'ai pas vérifié tes calculs mais pour la 3ème question , il suffit de faire tendre t vers l'infini dans l'expression de la vitesse .

Imod

[johnjohnjohn]

bonjour voila je bloque sur l'exercice suivant ( il mélange maths et physique ). Un petit cou de pouce serait le bienvenue , merci...



2) dans les conditions initiales la vitesse est nulle donc v(0) = 0
alors on obtient C = ( -m'g / k )
Donc v(t) = ( -m'g / k) exp ( -kt / m) + (m'g / k )
= ( -m'g / k ) ( exp ( -kt / m ) + 1 )

Ensuite je bloque sur la troisiéme question pouvez vous m'aidez svp ??
et déja me dire si ce que j'ai fait est correct ?
MERci d'avance !

Il me semble qu'il y a une erreur de signe. ça nous ferait une expression négative pour la vitesse ...

[pitchoune55]

svp aidez moi je suis bloqué... et je n'arrive pas a faire la limite en +infini de ma vitesse...help ! :mur:

[cotangente]

Ou bloques-tu exactement?

[pitchoune55]

déja j'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste? car je trouve que la fonction de la vitesse est négatif.....est ce normal?

[pitchoune55]

kelkun peut il m'aidez svp?

[johnjohnjohn]

déja j'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste? car je trouve que la fonction de la vitesse est négatif.....est ce normal?

C'est étonnant. Néanmoins il y a un bon moyen de vérifier toi même que c'est juste ou faux. Tu prends ta solution obtenue et tu "l'injectes" dans ton équation différentielle (E) !

Elle ne vérifie pas l'équation de départ ==> Faut reprendre la résolution (E)

Elle vérifie l'équation de départ ==> Tu vérifies qu'au point 0, tu retrouves les conditions initiales. Si oui t'as gagné, si non tu reprends les conditions initiales pour trouver LA solution ( (E) verifiée ET conditions initiales vérifiées )

[pitchoune55]

je n'arrive pas a faire la question 3, quelqu'un pourait-il m'aider svp??? merci :!:
help !

[pitchoune55]

comment calculer la limite en infini de ma vitesse ?