[TS Spé] DM sur Th. des combinaisons linéaires

[rgabi92]

Bonjour, je suis bloquée sur un exo, quelques idées?

On désigne par n et a deux entiers naturels.
1. Démontrer que si a|5n+31 et a|3n+12, alors a|33.

Ici, rien de compliqué, j'ai utilisé le théorème des combinaisons linéaires:
( a|5n+31 ) *3
( a|3n+12 ) *(-5)
a|15n+93-15n-60
a|33

2. Déterminer toutes les valeurs possibles pour les entiers a et n.
a|33 donc a est un diviseur de 33, c'est à dire {-33; -11; -3 ; -1; 1; 3; 11; 33}, or a est un entier naturel donc a { 1; 3; 11; 33}.
Par contre pour n, je bloque, je ne trouve pas d'entier naturel...
Peut être faut il d'abord déterminer n puis ensuite déterminer a en fonction de n?

[maturin]

1 - ok
2 - pas besoin de mettre les valeurs négatives on ne dit pas que -11 est un diviseur de 33 car on parle toujours d'entier naturel.
Tu le dis bien par la suite mais ce n'est pas "propre" d'écrire ta ligne avec -33 -11 -3 -1

Sinon il faut bien partir de a et pour chaque a trouver les n qui marchent.

ex: a=3
il faut que tu trouves les n tels que 3 divise 5n+31 et 3 divise 3n+12
la deuxième est toujours vrai donc il te reste 3 divise 5n+31
équivalent à 3 divise 5(n+2)+21
equivalent à 3 divise n+2
=> n= 1 modulo 3

fais chaque cas et après tu écris l'ensemble des solutions:
a=1, n quelconque dans N
a=3, n=1 modulo 3
a=11,...
a=33,...

[rgabi92]

Merci pour ta réponse.
Donc j'ai continué, et j'ai trouvé:

a=11, n=7 modulo 11.
Pour a=33, j'ai pas réussi à résoudre 33|5n+31
et pour 33|3n+12, j'ai trouvé n appartient à {7 ; 29} modulo 33.

Et qu'est ce que "modulo"?
Et comment justifier rigoureusement par exemple :

3|5n+31
équivalent à 3|5(n+2)+21
equivalent à 3|n+2
=> n= 1 modulo 3

[maturin]

a = b modulo n
veut dire qu'il existe un entier k tel que
a=b+kn

donc n=1 modulo 3
veut dire n=1 ou n=4 ou n=7 ou n=10 ou n=1+3k pour tout entier k

[maturin]

sinon pour justifier ce que j'ai dit pour le cas n=3

il faut utiliser:
si a|(b+c) et a|c alors a|b
si a|(b*c) et a ne divise pas b alors a|c

[maturin]

cas a=11

tu as:
11 | 5n+31
et
11|3n+12

il faut faire le meme raisonnement pour les deux que ce que j'ai fait. Déjà trouver une solution à taton c'est le plus simple
n=7 marche pour le (1)
après tu écris 11|5(n-7)+35+31
ssi 11|5(n-7)+66
ssi 11|(n-7)
donc n-7=k*11 qqsoit k marche
donc n=7+11k qqsoit k marche
soit n=7 modulo 11 marche pour (1)

Pareil pour (2) n=7 marche aussi
11|3(n-7)+21+12
donc 11|n-7
n=7 modulo 11 marche aussi pour (2)

donc a=11 et n=7 modulo 11 sont des solutions de ton système.

[maturin]

pour le cas a=33
33|3n+12
ssi 11|n+4

donc n+4=11*k
donc n=7 modulo 11 (-4 modulo 11 est égal à 7 modulo 11 et on n'écrit pas de nombre négatif)

33|5n+31
pour travailler ce cas écrit les multiples de 33 sur une feuille
sinon tu peux aussi écrire 33|5n-2+33 donc 33|5n-2
et tu verras que n=7 marche
tu vas trouver n=7 modulo 33

n=7 modulo 33 contient 7 modulo 11
donc 7 modulo 33 est solution de tes 2 equations.


note: j'ai utilisé des n-7 dans mes calculs, c'est pas très propre si on ne traite pas le cas n<7 a part. L'autre solution est d'écrire n+4 qui revient au meme modulo 11 mais ça complique les calculs.

[rgabi92]

Merci beaucoup, je viens de finir de rédiger.
En fait j'avais déjà approché la notion de modulo dans la trigonométrie, et le prochain cours de spé maths est sur les congruences :)

Encore merci, et surement à bientôt ^^