Pb sur la Dérivation (1e S)

[Aveyond06]

Bonjour,

Je dois faire un exercice pour dans pas longtemps (duuh...) enfin bon, je ne comprends pas ce qu'ils me disent.

Dans un repère (O, i, j), la courbe C est tracée, représentative de la fonction f(x)=x^3.

M € C ; l'abscisse de M est a.

But de l'exo : étudier les positions relatives de C et de la tangeante TA à C, en M.

1/ Déterminer une équation de Ta en fonction de A
La, je pense qu'il faut utiliser une formule pour dériver a. Comme f(a) = x^3, alors f(x) est dérivable et définie sur |R...
Donc Ta a pour équation : f'(a)(x-a)+f(a).
Or, f'(a) = 3a²
Donc Ta à pour équation 3a²(x-a) + a^3.

(Après je n'arrive pas à arriver à
x^3 - 3a² + 2a ^3 ce qui est demandé ds la question 2)

2/Démontrer que, étudier la position de C par rapport à Ta revient à résoudre l'inéquation :
x^3 - 3a² + 2a ^3 <= 0

C'est la que je suis bloqué.

(Il y a d'autres questions que je posterai si je suis encore bloqué après la q2)


Merçi d'avance de me répondre :]

[Aveyond06]

Normal il manque un x en fait c'est : x^3 - 3a²x + 2a ^3 <= 0

qui est équivalent à f(x) <= Ta(x).

Je te laisse remplacer par les expressions de f et de Ta pour le voir.

Donc... Il faut montrer en 2/ que f(x) <= Ta(x)?

Dans ce cas f(x) = x^3 et Ta(x) = 3a²(x-a) + a^3

Donc x^3 <= 3a²(x-a) + a^3
Donc 3a²x - 3a²a + a^3 - x^3 <= 0
Donc 3a²x - 2a^3 - x^3 <= 0
Donc -3a²x + 2a^3 + x^3 <= 0

Mais, la question était de démontrer que étudier la position de C par rapport à Ta revenait à résoudre l'inéquation.

Comment justifier cela? Je veux dire, comment l'affirmation en gras implique-t-elle f(x) = Ta(x)? J'ai du mal à visualiser :S


Merçi encore :]

[Aveyond06]

Etudier la position de C par rapport à Ta c'est pas regarder la position de la courbe par rapport à sa tangente ?

C'est à dire regarder sur le graphe quelle courbe est au dessus de l'autre
C'est à dire trouver les x pour lesquels f(x) >= Ta(x) et les x pour lesquels f(x) <= Ta(x).
:triste:

Oooh! C'est en fait comparer les 2 curbes...Nan, moi je voyais cela comme la position de Ta si C "bougait" (donc si son équation changait)...

Bon bah...Pour l'instant tout me semble clair (!).


Ainsi mon raisonnement pour ces questions seraient :

--

1/ Déterminer une équation de Ta en fonction de A

Comme f(a) = x^3, alors f(x) est dérivable et définie sur R.
Ainsi sa tangeante Ta a pour équation f'(a)(x-a)-f(a).
Or, f'(a) = 3a².
Donc Ta à pour équation 3a²(x-a) + a^3.

2/ Démontrer que (...).

Etudier les positions de C et de Ta signifie étudier leur signe.
Donc, on considère par exemple le cas ou f(x) <= Ta(x).

f(x) <= Ta(x)
Donc x^3 <= 3a²(x-a) + a^3
Donc 3a²x - 3a²a + a^3 - x^3 <= 0
Donc 3a²x - 2a^3 - x^3 <= 0
Donc -3a²x + 2a^3 + x^3 <= 0

Il y a d'autres questions après, mais je ne pense pas buter contre elles...enfin, j'espère.

Merci pour tout

[Aveyond06]

Hum...En fait...Je suis bloqué sur une autre question... -.-


Partant de ce qui est dit en 2/ je dois prouver que x^3-3a²x + 2a^3 = (x-a)(x²+ax-2a²)

De là j'ai pensé à chercher ce qui avait pu pousser à l'égalité remarquable : a² - 2ab + b² sans succès.

De plus, je ne vois pas comment arriver à partir de l'équation à (x-a)(x²+ax-2a²). :(

Merçi de m'aider :( :stupid_in :briques:

[Aveyond06]

Hmm, voyons...

x^3-3a²x + 2a^3 = (x-a)(x²+ax-2a²)

(x-a)(x²+ax-2a²) = (x-a)x² + (x-a)ax - (x-a)2a²
= x^3-x²a + x²a - a²x - 2a²x + 2a^3
= x^3 - a²x - 2a²x + 2a^3
= x^3 - 3a²x + 2a^3

O_o c'est vrai...plus logique O_o...

Bah, merçi encore; Après la question c'est d'en déduire d'après la valeur de a, la résolution de x^3 - 3a²x + 2a² <= 0
donc (x-a)(a²+ax-2a²) <=0
là c'est une inéquation produit...
Cela revient à déterminer le signe des produits

x-a = 0 donne x = a
a²+ax-2a = 0 donne 0.5x = a

Ainsi, lorsque x <= a, (x-a) <= 0
et lorsque 0.5x <= a, (a²+ax-2a²) <= 0

Donc (x-a)(a²+ax-2a²) <= 0 pour x <= a et 0.5x <= a.

:hein:


Ainsi :
Quand a € ]-inf ; 0.5x] U [1x ; +inf[ alors P => 0 ( Ta > C)
Quant a € [0.5x ; 1x] alors P < 0 (Ta < C)
(P désigne le produit)

Donc quand a <= 0.5x, alors la tangente Ta de C en a se situe au dessus de C, ainsi que pour a => x; et pour a € [0.5x ; x], Ta est en dessous.

Est-ce bon?