DM sur Cauchy-Scharwarz

[Anonyme]

SVP Pouvez-vous me donner un coup de pouce et me corriger les questions déja faite merci

Soit u et v 2 vecteurs non nuls.
On considère la fonction f définie sur R par : f(x)= (u+xv)² .
1] Quel est le signe de la fonction f sur R ? c'est positif car c'est une fonction carrée
2] Quelles conditions sur les vecteurs u et v faut-il avoir pour que la fonction f s'annule ? moi j'ai mis que x = -u/v
3] Montrer que la fonction f est un trinôme du second degré.
4] Si on suppose que les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, quel est le signe du discriminant ?
5] En utilisant l'expression du discriminant , montrer que |u.v|inferieur ou égal à llull * llvll , et mpontrer que l'inégalité ne se produit que si les vecteurs u et v sont colinéaires.

[Galt]

2) Attention : u et v étant des vecteurs, leur quotient n'est pas défini. f s'annule si et ssi il existe x tel que u+xv soit le vecteur nul, c'est à dire si et ssi u et v sont colinéaires.
3) il faut développer le produit scalaire (u+xv)(u+xv)

[Galt]

Pour le 4)
Comme on sait (quand u et v ne sont pas colinéaires) que le trinome n'a pas de racines, on peut dire que son discriminant est forcément ?

[Galt]

c'est strictement inférieur quand u et v ne sont pas colinéaires, et égal quand ils le sont (puisque dans ce cas le trinome a une racine double)