DM sur l'application à la dérivation!!

[Choupie]

Bonjour, je suis en 1ére S et j'ai un Dm de math sur l'application de la dérivation à faire. Seulement je n'y arrive pas du tout!! pouvez vous m'aider s'il vous plait?

A- préliminaires
1- u et v sont 2 réels
a) démontrer que ((u+v)/2)²> (ou égal) a uv
b) Peut on avoir l'égalité?

2-u et v sont 2réels strictement positifs.
a) f est la fonction définie sur [0 ;+ infini[ par:
f(x)= 1/x((u+v+x)/3)^3
Démontrer que f a un minimum suprérieur a uv

b) Déduisez en que pour tout réels u,v,w strictement positifs, ((u+v+w)/3)^3 > (ou égal) à uvw

c)Démontrer que l'égalité a lieu si et sulement si u=v=w

B-Application
ABC est un triangle d'aire S dont les trois angles sont aigus. M est un point interieur au triangle. On note P, Q, R les projetés orthogonaux respectifs de M sur les segments [AB], [BC], [CA]. On pose MP=p, MQ=q , MR=r et Sp, Sq, Sr sont les aires des triangles MAB, MBS, MAC.

1) En faisant jouer à Sp, Sq et Sr les rôles respectifs de u, v ,w démontrez que:
pqr <(ou égal) 8S^3/27abc avec AB=c, AC=b, et AC=a

2)a) Demontrez que pqr est maximal lorsque:
Sp=Sq=Sr=S/3

b)Démontrez alors que le centre de gravité du triangle ABC est un point pour lequel pqr est maximal.


Je vous remercie d'avance.

[rene38]

Bonjour

1. Calcule (développe, réduis puis factorise à nouveau)

[Choupie]

c'est ce que j'ai fais mais j'obtient (u-v)² >(ou egal) a 0 donc sa répond pas a la question...

[prody-G]

Tu as dû faire une erreur de calcul, tu dois trouver normalement :
((u+v)/2)² - uv = ((u-v)/2)²
--> ((u-v)/2)² > ou = 0
--> ((u+v)/2)² - uv > ou = 0
--> ((u+v)/2)² > ou = uv

[Daragon geoffrey]

slt
f'=(x+u+v)^2 ( 2x-u-v)/27x^2 donc f' est du signe de 2x-u-v positif équiv à x sup à (u+v)/2, et tu calcules ensuites l'image de ce minimum de f sur R+ (mais ce n'est pas nécessaire), puis à déterminer le signe de la différence de(u+v)/2 - uv pour montrer que ce minimum est sup à uv ...
par définition on trouve : Sp=(1/2)pc, Sq=(1/2)qa et Sr=(1/2)br équiv à p=2Sp/c, q=2Sq/a et r=2Sr/b alors pqr= 8*Sp*Sq*Sr/abc et d'après 2 b) (préliminaire), pqr inf (ou =) à ((p+q+r)/3)^3 donc
8*Sp*Sq*Sr/abc inf (ou =) à ((Sp+Sq+Sr)/3)^3 cad S^3 / 27 !
ensuite pqr maximal équiv à pqr=8*S^3 / 27abc, d'aprè l'inégalité précédente que tu résouts ... j'te laisse terminer @ +