Voici le sujet, que j'ai à faire en DM:
1. Soit x un entier relatif. Déterminer le reste de la division euclidienne de x3 par 9, en discutant suivant les valeurs de x.
En déduire que, pour tout entier relatif x, on a :
x3
9 (mod 9) x 0 (mod 3)x3
1 (mod 9) x 1 (mod 3)x3
8 (mod 9) x 2 (mod 3)2. On considère trois entiers relatifs x, y et z tels que x3 + y3 + z3 soit divisible par 9. Démontrer que l'un des nombres x, y et z
est divisible par 3.
Et voici mes réponses, je voudrais avoir un avis pour savoir si ces réponses sont justes et surtout si vous pourriez m'aider pour la 2)
:1) Lorsqu'on divise n'importe quel x par 9 on a 9 restes possibles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
J'étudis cas par cas:
-si x
0 (9) donc x^3 0 (9)-si x
1 (9) donc x^3 1 (9)-si x
2 (9) donc x^3 8 (9)-si x
3 (9) donc x^3 0 (9)-si x
4 (9) donc x^3 1 (9)-si x
5 (9) donc x^3 8 (9)-si x
6 (9) donc x^3 0 (9)-si x
7 (9) donc x^3 1 (9)-si x
8 (9) donc x^3 8 (9)On remarque que les restes 0, 1, 8 reviennent pour x^3 par 9 donc:
x^3
0 (9) x 0 (3)x^3
1 (9) x 1 (3)x^3
8 (9) x 2 (3)2) Si x^3+y^3+z^3
0 (9)alors x^3
-y^3-z^3 (9)donc -si x^3
0 (9) x 0 (3)donc l'un des nombres est divisible par 3
et à partir de la je bloque
J'espere vous pourrez m'aider, à Bientôt!!