[TS] Suites

[Anonyme]

Bonjour.

Je bloque sur un exo de suites :

X = [racine(5)+1]/2

On pose b_0 = 2 et, pour tout n supérieur ou égal à 0 :
b_(n+1) = racine(b_n + 1)

=> Montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 0 :

X < ou = b_(n+1) < ou = b_n < ou = 2.

Merci pour vos pistes éventuelles :).

[Anonyme]

On 29 Oct 2003 10:27:30 GMT, Yakumo wrote:
>Bonjour.
>
>Je bloque sur un exo de suites :
>
>X = [racine(5)+1]/2
>
>On pose b_0 = 2 et, pour tout n supérieur ou égal à 0 :
>b_(n+1) = racine(b_n + 1)
>
>=> Montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 0 :
>
>X
>Merci pour vos pistes éventuelles .

Par recurrence : pour le rang 0, c'est un petit calcul.
Puis, on applique la formule de recurrence sur chacun des termes de
l'inegalite au rang n, en remarquant que X = rac(X + 1).

[Un blanc sanitaire pour separer l'indication de la solution, le lecteur
ne voulant que l'indication est prie de passer son chemin]































Puis : X <= b_{n+1} <= b_n <= 2
On ajoute 1 et on prend la racine :

rac(X+1) <= rac(b_{n+1}+1) <= rac(b_n + 1) <= rac(3)
Or un petit calcul montre que rac(X+1) = X, et que rac(3) <= 2.
On a montre X <= b_{n+2} <= b_{n+1} <= rac(3) <= 2.
CQFD ?

--
Frederic

[Anonyme]

Yakumo wrote:
> Bonjour.
>
> Je bloque sur un exo de suites :
>
> X = [racine(5)+1]/2
>
> On pose b_0 = 2 et, pour tout n supérieur ou égal à 0 :
> b_(n+1) = racine(b_n + 1)
>
> => Montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 0 :
>
> X
> Merci pour vos pistes éventuelles .

Il va falloir procéder par récurrence, mais dans le bon ordre.
La majoration par 2 ne pose pas de problème à priori : récurrence
simple. De même pour la minoration par X.
Reste à montrer la décroissance de (bn). Pour cela, considère
l'inéquation : racine(x+1) <= x
L'astuce c'est que tu n'as besoin de savoir ce qui se passe que sur un
intervalle donné, et tu peux par exemple élever au carré : il te reste
une inéquation du second degré.
Ca va mieux ?

--
Romain Mouton
« Je recèle en moi des réserves d'ennui pratiquement inépuisables. Je
suis capable de m'ennuyer pendant des heures sans me faire chier. »
P.Desproges

[Anonyme]

Frederic wrote:

> CQFD ?

Oui ; méthode plus courte et élégante que la mienne ^^

--
Romain Mouton
« Je recèle en moi des réserves d'ennui pratiquement inépuisables. Je
suis capable de m'ennuyer pendant des heures sans me faire chier. »
P.Desproges

[Anonyme]

frederic@clipper.ens.fr (Frederic) wrote in
news:slrnbpv699.8dm.frederic@clipper.ens.fr:

>
> Par recurrence : pour le rang 0, c'est un petit calcul.
> Puis, on applique la formule de recurrence sur chacun des termes de
> l'inegalite au rang n, en remarquant que X = rac(X + 1).
>

Ça marche impecc', merci bien :].
Par contre une question : en TS quand il y a une récurrence à faire, elle
est indiquée dans l'énoncé non ? (Démontrer par récurrence que ...)

[Anonyme]

Romain Mouton wrote in news:3f9f9b0e$0$250
$a3f2974a@nnrp1.numericable.fr:


> Ca va mieux ?
>

Oui oui, merci également . (par contre, c'est vrai que l'autre méthode me
parait plus.. limpide on dira :])

[Anonyme]

On 29 Oct 2003 13:33:05 GMT, Yakumo wrote:
>Par contre une question : en TS quand il y a une récurrence à faire, elle
>est indiquée dans l'énoncé non ? (Démontrer par récurrence que ...)

Oui ce me semble. Mais il faut admettre qu'il semble naturel de faire des
recurrences quand il s'agit d'etudier des suites definies par recurrence !
(Pas d'inquietude : les automatismes viennent avec le temps...)

--
Frederic