Suites

[Stéphanie123]

Bonjour
pouvez-vous me dire si cet exercice est bon ?
Je vous remercie par avance

soit une suite (u_{n}) dont aucun terme n'est nul
soit la suite (v_{n}) définie par

u_{n} =1 + \frac{1}u{_{n}}

1) montrer que si (u_{n}) est minorée par 1 alors (v_{n}) est majorée par 2

on remplace u_{n} par 1 : v_{n} = 1+1 = 2
en faisant tendre u_{n} vers +∞ on a
lim vn =1
un -> + ∞
ainsi si (u_{n}) est minorée par 1 alors (v_{n}) est majorée par 2

2) dans cette question, on définit plus précisément la suite (u_{n}) par :

u_{o}
\left\{u_{n} +1=\frac{u_{n}}{u_{n}+2}

Montrer que (v_{n}) est une suite géométrique de raison 2 quelle est la limite de la suite (v_{n}) ?

V0 = \frac{4}{3}
V1= \frac{8}{3}
V2 = \frac{16}{3}

\frac{V1}{V0}
= \frac{8}{3}
\frac{4}{3}

= \frac{8}{3} * \frac{3}{4} + \frac{8}{4} =2


\frac{V2}{V1}
= \frac{16}{3}
\frac{8}{3}

= \frac{16}{3} * \frac{3}{8} + \frac{16}{8} =2

(v_{n}) est une suite géométrique de raison 2
lim (v_{n}) =+∞
n-> +∞

3) exprimer (v_{n}) en fonction de n. En déduire une expression de u_{n} en fonction de n puis la limite de la suite u_{n}

(v_{n}) = \frac{4}{3} * 2n
\frac{4}{3} *2^{n} = 1 \frac{1}{un}
<=> \frac{4}{3} *2^{n}-1 = \frac{1}{un}

<=> un (( \frac{4}{3} *2^{n}-1) = 1
<=> un = 1 \frac{4}{3} *2^{n}-1

Je vous remercie pour votre aide

[hdci]

(Re)bonjour Stéphanie

Pour utiliser les balises TEX, il faut encadrer par [ tex] et [/ tex] la formule (sans mettre les espaces, ici pour que l'interpréteur ne l'interprète pas).
Une façon simple, c'est écrire la formule sans les balises, sélectionner la formule et cliquer sur le bouton "tex" qui se trouve dans la barre de formatage du texte.

[hdci]

1) montrer que si (u_{n}) est minorée par 1 alors (v_{n}) est majorée par 2

on remplace u_{n} par 1 : v_{n} = 1+1 = 2
en faisant tendre u_{n} vers +∞ on a
lim vn =1
un -> + ∞
ainsi si (u_{n}) est minorée par 1 alors (v_{n}) est majorée par 2

Inutile de passer aux limites :
donc

2) dans cette question, on définit plus précisément la suite (u_{n}) par :

u_{o}
\left\{u_{n} +1=\frac{u_{n}}{u_{n}+2}

Montrer que (v_{n}) est une suite géométrique de raison 2 quelle est la limite de la suite (v_{n}) ?

V0 = \frac{4}{3}
V1= \frac{8}{3}
V2 = \frac{16}{3}

\frac{V1}{V0}
= \frac{8}{3}
\frac{4}{3}

= \frac{8}{3} * \frac{3}{4} + \frac{8}{4} =2


\frac{V2}{V1}
= \frac{16}{3}
\frac{8}{3}

= \frac{16}{3} * \frac{3}{8} + \frac{16}{8} =2

Ce n'est pas suffisant : il ne suffit pas de montrer que les trois ou quatre premiers termes de sont géométrique, il faut le montrer pour tout en calculant

(v_{n}) est une suite géométrique de raison 2
lim (v_{n}) =+∞
n-> +∞

Oui... Sauf si (valeur de u_0 non donnée ci-dessus).
Toutefois, je déduis de que ...

3) exprimer (v_{n}) en fonction de n. En déduire une expression de u_{n} en fonction de n puis la limite de la suite u_{n}


(v_{n}) = \frac{4}{3} * 2n

Je n'arrive pas bien à comprendre (pb tex sûrement) : comme (v_n) est géométrique, on a

\frac{4}{3} *2^{n} = 1 \frac{1}{un}
<=> \frac{4}{3} *2^{n}-1 = \frac{1}{un}

<=> un (( \frac{4}{3} *2^{n}-1) = 1
<=> un = 1 \frac{4}{3} *2^{n}-1

Là aussi difficile à lire , mais cela me semble correct. Vous devez trouver



Ce qu'on peut simplifier en gérant finement les fractions