Suites

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Phymathi
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Suites

par Phymathi » 25 Avr 2017, 00:41

Bonsoir à tous,
Je dois montrer que ma suite :

1)est bornée par 2 et 3
2) convergente vers une limite qu'on précisera.
3) Etudier la convergence des suites :

Ayant un blocage avec les suites où il y a des sommes , je sais pas exactement quoi utiliser pour les deux sommes,
j'ai pensé pour la 1) à utiliser le principe de raisonnement par récurrence mais après je bloque , l'itération ne marche pas non plus , que faire ?
Avez vous des méthodes à me conseiller quand je me retrouve face à cette situation où je me retrouve devant des belles sommes à encadrer ?
Pour la 2) blocage total aussi ( sachant que je ne peut ni utiliser l'expo ni la fonction ln)
Pour la 3) je bloque aussi..
Bref, vous l'avez compris, je n'arrive pas à avancer..
En l'attente d'une aide s'il vous plait.
Bonne soirée.



infernaleur
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Re: Suites

par infernaleur » 25 Avr 2017, 01:16

Salut,

1/pour la majoration tu peux tout d'abord remarquer que pour tout n supérieur ou égale à 1 n!>=2^(n-1) (qui se montre par récurrence par exemple ) donc par inverse 1/n! =< 1/2^(n-1) en décomposant la somme en deux de k=0 a k=1 et de k=1 a k=n tu déduira que la somme est majorée par 3
Je te laisse voir pour la minoration.

2/ tu montre que la suite est croissante et donc comme elle est majorée et croissante elle est convergente
la limite est le nombre e^1, mais pour le démontrer je ne voix pas comment faire pour un élève de lycée.

3/ pour Un essaye de trouver un encadrement en partant de 1<=k<=n puis tu somme l’inégalité de k=1 jusqu'à k=n tu pourra conclure en utilisant le théorème de comparaison (la limite est +l'infini )

Pseuda
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Re: Suites

par Pseuda » 25 Avr 2017, 10:54

Bonjour,

Cela doit être :
pour la minoration par 2.

Pour la majoration par 3, on voit bien que la récurrence ne va pas marcher. On ne sait pas sommer cette suite, mais on sait sommer les suites géométriques. Donc penser à majorer par une suite géométrique est une bonne idée.

Pour la 2), sachant tu ne peux utiliser ni exp ni ln, que sais-tu sur e ?

Tiruxa47
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Re: Suites

par Tiruxa47 » 25 Avr 2017, 11:40

Bonjour,

Pour Vn dans la 3) tu peux montrer que Vn est supérieur à n (pour tout n supérieur à 1) ce qui permet de conclure.

Phymathi
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Re: Suites

par Phymathi » 26 Avr 2017, 00:13

Pseuda a écrit:Bonjour,

Cela doit être :
pour la minoration par 2.

Pour la majoration par 3, on voit bien que la récurrence ne va pas marcher. On ne sait pas sommer cette suite, mais on sait sommer les suites géométriques. Donc penser à majorer par une suite géométrique est une bonne idée.

Pour la 2), sachant tu ne peux utiliser ni exp ni ln, que sais-tu sur e ?

Bonsoir,
Oui effectivement, je m'excuse j'ai oublié un terme de la suite.
Pour la majoration par 3, j'ai donc fait
Ainsi de suite jusqu'à pouvoir dire que la suite est minorée par une suite géométrique de raison q=1/2 .. C'est correct? Et pour la minoration par 2? On calcule les deux premiers termes et on compare leur somme à 2 ?
Pour je ne sais pas comment procéder ..?

Pseuda
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Re: Suites

par Pseuda » 26 Avr 2017, 09:33

Bonjour,

Pour la minoration par 2, on voit tout de suite que un >= 1+1, donc c'est évident.

Pour la majoration par 3, chaque terme de la suite 1/k! avec k>= 2 est inférieur à (1/2)^k, donc la somme de ses termes est inférieure à la somme des termes de la suite géométrique de raison 1/2 et 1er terme 1/2, qu'il ne reste plus qu'à calculer.

Pour vn, calcule quelques premiers termes. La suite te semble tendre vers quoi ? Montrer que vn >=1 n'est pas suffisant. On peut montrer que vn>= n pour tout n>=1. Pour cela, pose vn=n*(n^(n-1)/n!) et montre directement que n^(n-1)/n! >=1 pour tout n>=2.


Pour un (question 3), tu peux mettre 1/Vn (racine de n, désolée je suis sur portable) en facteur de toute l'expression, et montrer que un >= Vn.
Modifié en dernier par Pseuda le 26 Avr 2017, 16:38, modifié 1 fois.

Tiruxa47
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Re: Suites

par Tiruxa47 » 26 Avr 2017, 15:36

On peut aussi montrer par récurrence que :
pour tout entier n , non nul,

Pseuda
Habitué(e)
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Re: Suites

par Pseuda » 27 Avr 2017, 13:48

Tiruxa47 a écrit:On peut aussi montrer par récurrence que :
pour tout entier n , non nul,

Bonjour,

On peut montrer aussi que :

 

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