Bonjour, est ce que quelqun pourait m'aider pour l'exercice suivant svp.
On pose, pour tout entier naturel n=>1, un=2^n/n!.
a)Calculer un+1/un et prouver que pour tout entier naturel n=>3, un+1<=1/2*un.
ma reponse:
je trouve un+1/un=2/(n+1) et je trouve bien un+1<=1/2*un.
b)En deduire que pour tout entier naturel n=>3, 0<= un <= u3*(1/2)^(n-3).
je n'arrive pas a demontrer ceci,je sais qu'il faut faire une recurrence, mais je ne vois pas comment.
merci
Suites
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par allomomo » 14 Mai 2006, 13:32
Salut,
a -
*n!}}{\frac{2^n}{n!}}=\frac{\frac{2}{n!}u_n}{u_n}=\frac{2}{n+1})
*}=\frac{2^n(n+1)-2\times 2 \times 2^n}{2n!(n+1)}=\frac{2^n(n-1)}{n!(n+1)}\ge 0)
[center]
[/center]
(Remarque : En fait c'est vrai pour tout :
)
Ce qu'on veut démontrer :^{n-3})
*^{3-3}})
Or 
donc pour n=3, ^{n-3})
* Soit
supposons que
Alors, alors :^{n-3})
Or :^{n-3}=\frac{3}{n+1}(\frac{1}{2})^{(n+1)-3})
et ^{(n+1)-3} \ge u_3(\frac{1}{2})^{n-3})
[center]Donc^{n-3})
[/center]
* La propriété est vraie pour n=3 et hériditaire donc vraie pour tout
a -
*
*
[center]
(Remarque : En fait c'est vrai pour tout :
Ce qu'on veut démontrer :
*
* Soit
Alors, alors :
Or :
[center]Donc
* La propriété est vraie pour n=3 et hériditaire donc vraie pour tout
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