Suites

par **Calamityjeane** » 27 Avr 2006, 19:25

Bonsoir,

Voilà j'ai un exercice de maths à faire sur les suites mais je rencontre quelques difficultés, j'espère que vous pourrez m'aider.

Voici l'énoncé:

On définit une suite par la donnée des 2 premiers termes U0 = 2 et U1 = 3, et par la relation de recurrence: pour tout n plus grand ou égale à 1
U n+1 = 3Un + 4Un-1

Le but de l'exercice est de trouver une formule explicite donnant Un+1 en fonction de n.

1) Calculer U2, U3, U4
2) Montrer qu'il existe 2 réels distincts "alpha" et "beta" tels que:
alpha + beta = 3 et alpha*beta = -4 ( alpha < beta )
3) Montrer que la suite v définit pour n plus grand ou égale à 1 par
Vn = Un - alpha*Un-1, est une suite géométrique de raison beta.
Exprimer Vn en fonction de V1, de beta et de n.

J'ai tenté de résoudre cet exercice mais je ne suis vraiment pas sur de mes réponses:

1) U2 = 3 U1 + 4 U0 = 17
U3 = 63
U4 = 257

2) je pense que alpha=-1 et beta=4 mais je ne sais pas comment procéder.

3) j'ai calculé Vn+1/Vn et je trouve 7

Je vous remercie d'avance :)

par **Quidam** » 27 Avr 2006, 19:40

Calamityjeane a écrit:Montrer qu'il existe 2 réels distincts "alpha" et "beta" tels que:
alpha + beta = 3 et alpha*beta = -4 ( alpha < beta )

Quand tu seras en première tu apprendras à résoudre le problème consistant à trouver deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P : ce sont les deux solutions de l'équation X²-SX+P=0. Je suppose que tu ne sais pas résoudre une telle équation. Comment faire alors ? En quelle classe es-tu ?

par **Mikou** » 27 Avr 2006, 19:47

tu doit trouver 4 et non 7 :)

par **olivthill** » 27 Avr 2006, 19:54

Pour trouver qu'alpha et beta sont -1 et 4,
on peut poser un système à deux équations:
Eq1 : alpha + beta = 3
Eq2 : alpha x beta = 4
Pour Eq1, on a alpha = 3 - beta
On remplace cette valeur de alpha dans Eq2
Eq2 : (3 - beta) x beta = 4
3beta -beta² = 4
0 = beta² - 3beta + 4
0 = (beta + 1)(beta - 4)
Donc beta = 4 et alpha = -1

Pour la question 3, V(n+1) / Vn = 4, pas 7.
car c'est (U(n+1)+Un)/(Un+U(n-1))
= (3Un+4U(n-1)+Un)/(Un+U(n-1))
= 4

par **Mikou** » 27 Avr 2006, 19:55

"Le but de l'exercice est de trouver une formule explicite donnant Un+1 en fonction de n" tu veux faire quoi ? donner une formule explicite de Un c'est ca ?

par **Calamityjeane** » 27 Avr 2006, 20:33

olivthill a écrit:Pour trouver qu'alpha et beta sont -1 et 4,
on peut poser un système à deux équations:
Eq1 : alpha + beta = 3
Eq2 : alpha x beta = 4
Pour Eq1, on a alpha = 3 - beta
On remplace cette valeur de alpha dans Eq2
Eq2 : (3 - beta) x beta = 4
3beta -beta² = 4
0 = beta² - 3beta + 4
0 = (beta + 1)(beta - 4)
Donc beta = 4 et alpha = -1

Pour la question 3, V(n+1) / Vn = 4, pas 7.
car c'est (U(n+1)+Un)/(Un+U(n-1))
= (3Un+4U(n-1)+Un)/(Un+U(n-1))
= 4

J'ai bien compris, je vous remercie beaucoup!!
En fait, c'était tout simple

Je n'hésiterai pas à vous redemander de l'aide si j'ai besoin.

Merci à tous de votre intérêt ainsi que votre rapidité

A bientôt!

par **Mikou** » 28 Avr 2006, 09:44

U n+1 = 3Un + 4Un-1
x²-3x-4= 0 pour x=-1 et x=4
on a donc

les conditions initiales nous permettent de donner

par **Mikou** » 28 Avr 2006, 10:01

ne voulais tu pas une formule explicite de cette suite ?
C'est une suite lineaire dordre 2, le polynome caracteristique est x²-3x-4 dont les racines sont -1 et 4, on a donc

les conditions initiales nous permettent decrire que

:happy:

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