[TS] Suites.

[Deluxor]

Bonsoir,

Voici l'exercice que j'ai à traiter :

Soit la suite définie sur par et pour tout , .

1) a. A l'aide de la calculatrice, calculer pour {1,2,3}.
b. Montrer, par récurrence, que pour tout entier, est positif.

2) Soit la fonction définie sur par .

On nomme la courbe représentative de dans un repète orthonormal .

a. Etudier les limites de en 0 et en .
b. Etudier les variations de sur et dresser le tableau de variation.
c. Conjecturer puis démontrer l'existence d'une asymptote à la courbe en . Préciser la position de par rapport à .
d. Représenter la courbe et l'asymptote dans un repère. Tracer également la droite d'équation .
e. Résoudre l'équation . Que représente graphiquement la solution ?

3) a. Construire sur l'axe des abscisses les terme , , , et de la suite.
b. Conjecturer alors le sens de variation et la convergence de la suite .

4) a. Montrer que, pour tout entier : .
b. En déduire que pour tout entier, . Quel est alors le signe de ?

5) Etudier le sens de variation de (u_n) par l'une des méthodes suivantes :
- Comparer et , puis utiliser le sens de variation de sur .
- Etudier le signe de .

6) a. Montrer que . En déduire que .
b. Par un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier : .
c. En déduire que la suite est convergente et donner sa limite.



Merci d'avoir lu l'énoncé.

Je bloque pour l'instant à la question 1)b. Merci de m'aider. Le reste devrait aller tranquillement (plus ou moins).

Bonne soirée,

Deluxor.

[annick]

Bonjour,
pour ta question 1)b tu poses comme hypothèse que Un>0.
Est-ce vrai pour U0 ?
Que devient le signe de Un+1 si Un>0 ? Donc...

[Deluxor]

Merci pour ta réponse annick,

J'ai prouvé qu'au rang 0 la propriété vraie.

J'ai considéré un entier p, j'ai supposé que la propriété était vraie au rang p. Je n'arrive juste pas à prouver la récurrence...

[Sylviel]

que vaut up+1 en fonction de up ?

[Deluxor]

Je n'ai pas compris, en fait.

Déjà, on veut prouver que pour tout n, est positif, soit peut être égal à 0. C'est impossible, non ?

Je ne vois pas comment prouver la récurrence.

Par hyp. de récurrence, donc .

Ca devient impossible à prouver...

[Rebelle_]

Hello ! =)

Tu dis que si u_p > 0 alors 1/ u_p < 0 ?!
L'inverse d'un nombre (strictement) positif est...

:)

[Deluxor]

Merci de ta réponse !

En effet.. Du coup, on arrive à :



Peut-on conclure de cette inéquation que : ?

[Rebelle_]

Non, il faut écrire quelque chose comme : on a , ce qui est (on a )

La récurrence est établie, pour tout n entier naturel on a

NB : je ne peux pas mettre d'équivalences car les inégalités sont larges.

Comprends-tu ?

[Deluxor]

Mais on ne peut pas dire que si alors , si ? (car est valeur interdite).

[Rebelle_]

Clairement, d'après l'expression même de la suite on a u_n différent de 0, sinon il y a un problème de définition :)
On pourrait mettre des inégalités strictes mais l'énoncé demande de montrer que u_n est positif, mais non strictement. On sait tout de même qu'il l'est, en effet !

C'est amusant, je suis sûre d'avoir déjà vu la seconde partie de l'exercice il n'y a pas longtemps ! ;)

Je dois te laisser, je suis affreusement en retard :/

[Deluxor]

Oui mais, même en ayant , on ne peut pas avoir ... Si ?

[Deluxor]

J'ai prouvé que : .

Sinon, est-ce juste que :



?

[Sa Majesté]

Oui c'est juste

[Deluxor]

Oui c'est juste

D'accord. Je dois ensuite étudier les variations de sur .

Pour cela, est-ce juste dire que :



est une fonction rationnelle, donc est dérivable sur son ensemble de définition, càd sur , et en particulier sur .

, donc , soit

[Sa Majesté]

Il suffit de tout mettre sous le même dénominateur

[Deluxor]

On a donc : si
et : si ?

[Sa Majesté]

Oui c'est ça

[Deluxor]

Merci !

Comment conjecturer l'existence d'une asymptote à la courbe en sinon au tatonnage ?

( )

[Sa Majesté]

C'est un peu à ça que revient une conjecture
Tu prends par ex un nb x "grand" tu calcules f(x) et tu vois que c'est proche de x/2
Après il faut le démontrer

[Deluxor]

J'ai bien avancé depuis.

Je suis arrivé à la question 4)b.

Il faut en déduire de la 4)a. que :

J'ai réussi à trouver que , mais comment le prouver pour ?