Suites recurrentes

[charlinou]

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bonjour, voilà, j'ai un exo sur les suites mais je n'arrive pas à le résoudre, même si je l'ai commencé. Voilà l'énoncé et ce que j'ai écrit:

Démontrer par récurrence que, pour tout naturel non nul:

ce que j'ai écrit:
Soit P2n-1
2n-1
;) p^3 = n²(2n-1)²
p=1

initialisation: pour n=1
2n-1
;) p^3 = 1 et n²(2n-1)²=1 donc P2n-1 est vraie.
p=1

supposons que la propriété est vraie jusqu'au rang 2n-1. Demontrons alors que P2n est vraie.

Hérédité:
P2n: 1^3+2^3+3^3+...+(2n-1)^3+(2n)^3
= n²(2n-1)²+(2n)^3
= n²(4n²-4n+1)+8n^3
=4n^4+4n^3+n²


voilà, merci beaucoup!!!

[maturin]

l'énoncé est pas très clair on te demande quoi ?


Si on te demande de montrer ça:
2n-1
;) p^3 = n²(2n-1)²
p=1

Appelle cette propriété Pn (et non P2n-1)
Tu as montré que P1 est vraie, il te reste à montrer que Pn+1 est vraie sachant Pn vraie.
Et dans le calcul que tu as fait il manque le terme (2n+1)^3

Fais le calcul et tu dois tomber sur (n+1)²(2n+1)²

[charlinou]

merci beaucoup !! voilà ce que j'ai écrit:

Soit P(n)
2n-1
;) p^3 = n²(2n-1)²
p=1

initialisation: pour n=1
2n-1
;) p^3 = 1 et n²(2n-1)²=1 donc P(n) est vraie.
p=1

supposons que la propriété est vraie jusqu'au rang n+1. Demontrons alors que P(n+1) est vraie.

Hérédité:
P(n+1): 1^3+2^3+3^3+...+(2n-1)^3+(2n)^3+ (2n+1)^3
= n²(2n-1)²+(2n)^3+(2n+1)^3
= n²(4n²+1-4n)+8n^3+(2n+1)^3
=4n²+4n^3+n²+(2n+1)²
=n²(4n²+4n+1)+(2n+1)²(2n+1)
=n²(2n+1)²+(2n+1)²(2n+1)
=(2n+1)²(n²+2n+1)
=(2n+1)²(n+1)²


mais enfaite comment on sait qu'il faut rajouter (2n+1)^3 ??

[maturin]

dans le cas n=1 il faut écrire en conclusion P(1) est vrai et non P(n) vrai tu as fait une faute de frappe

sinon pour le (2n+1)^3 ça vient de la définition de P(n+1):

2(n+1)-1
p^3
p=1

par rapport à P(n) ça te fait 2 terme en plus dans ta somme (2n)^3 et (2n+1)^3

[charlinou]

Merci beaucoup !! :)