Suites récurrentes

[Anonyme]

Bonjour.

Dans un pb de barycentre d'un triangle , je me retrouve avec le système de
suites récurrentes suivant:

a(n+1)=-a(n)+b(n)+c(n)
b(n+1)=a(n)-b(n)+c(n)
c(n+1)=a(n)+b(n)-c(n)

avec a(0)=a, b(0)=b et c(0)=c

pour résoudre ce système, j'ai posé l'équation matricielle : X(n+1)=A*X(n)
avec X(n)={a(n),b(n),c(n)} et A ={{-1,1,1}{1.-1,1}{1,1,-1}}.

du coup, X(n)=A^n*X(0)
donc diagonalisation de A par la méthode de réduction des endos et je trouve
la solution sans pb.

Mais c'est une méthode un peu lourde et longue, et je sais qu'on peut
résoudre ce système plus rapidement en se basant sur la méthode de division
euclidienne du style X^n=(X-a)*Q(X)+P(X). j'ai vu cette méthode ya un peu de
temps et du coup je ne me rappelle plus de la méthode exacte!!
Si quelqu'un peut m'éclairer, merci

A+

[Anonyme]

Ta matrice s'écrit A = J -2I, où J est la matrice ne contenant que des 1.
Il est immédiat que J^2=3J

Première méthode : par récurrence J^n=3^(n-1)J si n>=1
Tu appliques la formule du binôme de Newton, tu scindes la somme en deux,
selon que l'exposant de J est nul ou non, tu obtiens ainsi que que A^n est
une combinaison de I et J et que le coefficient de J est une somme type
binôme mais il manque un terme (penser à factoriser par 1/3) et tu obtiens
l'expression de A^n

Deuxième méthode :
une récurrence immédiate montre que A^n = (-2)^n * I + a(n)J, tu vérifies
que a(n) est une suite arithmético-géométrique et tu en déduis son
expression en fonction de n donc l'expression de A^n

Troisième méthode : L'égalité J^2=3J implique que (A+2I)^2 = 3 (A+2I) donc
le polynôme X^2 + X -2 annule A
tu effectues la division euclidienne de X^n par X^2+X-2, le reste est un
terme affine (aX+b) et tu évalues cette égalité en les deux racines de
X^2+X-2, ce qui te donne a et b

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[Anonyme]

A force de concentration, j'ai retrouvé la méthode qui est en fait ta
troisième méthode en passant par le polynome minimal (1-X)(2+X).
J'ai bien trouvé mon a et mon b et ensuite c'était du gateau pour mon X(n).
Les deux premières méthodes sont aussi très interressantes à connaître.
Merci pour ta réponse maître!!!!
A+