Une société produit des bactéries pour l'industrie. En laboratoire, il a été mesurée que, dans un milieu nutritif approprié, la masse des bactéries, mesurée en grammes augmente de 20% en un jour.
La société met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 grammes de bactéries sont perdus.
L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30kg de bactéries.
On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un) définie de la façon suivante:
u0=1000
un+1=1,2un -100, pour tout entier naturel
On admet que, pour tout entier naturel n, un≥1000
1. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé. On précisera en particulier ce que représente u0
2.Démontrer que la suite (un) est croissante
3. A l'aide de la calculatrice, conjecturer au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30kg.
4. On définit la suite ( vn) par vn=un-500 pour tout entier naturel n.
a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique
b) Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n
c) en deduire l'expession de un en fonction de n, pour tout entier naturel n.
d) Démontrer alors la conjecture émise a la question 3
Voila l'enoncer, j'ai déja fait la question 1, pour celle la pas de problème j'ai défini chaque termes et expliqué ce que fait la suite.
Mais pour la 2 je bloque, je pense que c'est de la récurrence mais je ne sais pas comment m'y prendre.
Pour la 3 j'ai utilisé un+1 =1.2un-100 et a la calculatrice j'ai trouvé que le 24ème jours c'est a dire u23 la masse de bactérie depasse 30kg.
Pour la 4 j'ai démontrer que la suite est géométrique : j'ai fait avec
vn=un-500
vn+1=(un+1)-500
vn+1=(1.2un-100)-500
vn+1=1.2un-600
vn+1=1,2(un-500)
vn+1=1,2vn
La suite est donc géométrique de raison 1.2 et de premier terme v0=u0-500 =1000-500 =500
vn en fonction de n:
vn=v0 x q^n
vn=500 x 1.2^n
j'en déduit un en en fonction de n
On sait que vn=un-500 on en déduit que un=vn+500
un=vn+500
un=500 x 1.2^n +500
J'attend votre aide pour les questions 2 et 4d) avec impatience, car la je ne voix vraiment pas comment faire ,merci
