Suites et progression arithmétique

[michelk]

Bonjour,

Je cale sur un exercice. Je ne vois pas comment l’aborder.
Quelques pistes pour m'orienter?

Démontrez que, si a, b, c sont en progression arithmétique, alors b² + bc + c² ,
c² + ac + a² , a² + ab + b² le sont aussi.

Merci !

[catamat]

Bonjour
a,b et c en progression arithmétique si et seulement si a-b=b-c
ou encore ssi a=2b-c

Donc on peut remplacer a par 2b-c dans les autres expressions (notées par ex) A, B et C et regarder si A-B=B-C

[michelk]

Merci pour la réponse.

a,b et c en progression arithmétique si et seulement si a-b=b-c
ou encore ssi a=2b-c
Donc on peut remplacer a par 2b-c dans les autres expressions (notées par ex) A, B et C et regarder si A-B=B-C

Je comprends le principe pour ce qui est des suites. Je m'empêtre par contre totalement dans les calculs
Voici ce que j'obtiens:

A= b² + bc+ c²
B =c²+ac+a² devient c² + (2b-c)c + (2b-c)²
C= a² +ab+b² devient (2b-c)² + (2b-c)b + b²
démontrer que
A-B = B-C
b² + bc+ c² - c² + (2b-c)c + (2b-c)² = c² + (2b-c)c + (2b-c)² - (2b-c)² + (2b-c)b + b²
En soustrayant les termes identiques des deux côtés de l'équation
bc- c² = (2b-c)b - (2b-c)²
bc - c² = 2b² -bc -4b² - 4bc +c²
bc - c² = c² - 2b² -5bc

Heu.... bref n'importe quoi!

Après avoir posé ma question, j'ai remarqué que quelqu'un d'autre avait posé la même.
https://www.maths-forum.com/lycee/demontrer-progression-arithmetique-t209195.html
Là encore, je pense avoir compris le principe pour ce qui est de la résolution. Mais je n'arrive pas à suivre le développement(factorisation, etc...).

[catamat]

Il y a des erreurs de signe (car oubli de parenthèses)

A-B=b² + bc+ c²-(c²+ac+a² )=b²+bc+c²-c²-ac-a²=b²+bc-ac-a²
Remplacer maintenant a par 2b-c sans oublier les parenthèses après le signe - qui est devant a²

Faire de même pour B-C

[michelk]

Ha ben c'est beaucoup plus clair comme ça! Je m'y mets dès ce soir et je vous tiens au courant

Merci.

[michelk]

Je pense y etre arrivé arrivé grâce à votre aide!
Je récapitule:
Démontrez que, si a, b, c sont en progression arithmétique, alors b² + bc + c² ,
c² + ac + a² , a² + ab + b² le sont aussi.

Si (c² + ac + a² ) - ( b² + bc + c² ) = (a² + ab + b² ) - (c² + ac + a²)
alors, la suite (b² + bc + c² ,c² + ac + a² , a² + ab + b² ) est en progression arithmétique.

a,b et c en progression arithmétique si et seulement si a-b=b-c
ou encore ssi a=2b-c (cfr la relation b= (a+c)/2)
Donc on peut remplacer a par 2b-c dans les autres expressions

(c² + ac + a²) - ( b² + bc + c²) = ( a² + ab + b²) - ( c² + ac + a²)

On remplace a par 2b-c
(c² + (2b-c)c + (2b-c)²) - ( b² + bc + c²) = ( (2b-c)² + (2b-c)b + b²) - ( c² + (2b-c)c + (2b-c)²)

(c² + 2bc - c² + 4b² - 4bc +c²) - (b² + bc + c² ) = (4b² – 4bc + c² + 2b² – bc +b²) – (c² + 2bc -c² + 4b²- 4bc + c²)

(c² + 4b² - 2bc ) - (b² + bc + c² ) = (7b² – 5bc + c² ) – ( 4b²- 2bc + c²)

c² + 4b² - 2bc - b² - bc - c² = 7b² – 5bc + c² – 4b²+ 2bc – c²

3b² - 3bc = 3b² – 3bc

Donc, b² + bc + c² , c² + ac + a² , a² + ab + b² est en progression arithmétique


Merci!

[catamat]

Oui c'est correct, même si dans le membre de droite tu pouvais éliminer les a² ce qui allégeait le calcul.
C'est bien