Suites: Un pont de cartes

[youkef-sne]

Bonjour
j'ai un problème avec un exercice sur les suites. Voici l'énoncé :

Baptiste a un jeu de cartes de 7cm de longueur. Au lieu de les empiler les unes au-dessus des autres, il les décale de manière a ce que la pile reste en équilibre. Pour cela, il dispose une carte de manière a ce que son extrémité gauche soit á la verticale du centre de gravité des cartes situés au dessus d'elle.
Il aimerait connaitre la longueur maximale qu'il peut atteindre avec un jeu de 32 cartes. Après plusieurs essai, il conjecture que la longueur obtenue avec n cartes est: L(n)= 7 + 3,5(1 + (1/2) + (1/3) + ..... + (1/(n-1)) ) pour tout entier n supereur ou égal a 2.
Question:
1) Calculer L(32). J'ai mis: L(32)=21,095
2-a) Exprimer L(n) par récurrence. J'ai mis : L(n+1) = L(n) + 3,5/n et L(0)=10,5
2-b) Créer un algortithme pour effectuer le calcul de L(n) apres avoir demander n a l'utilisateur. J'ai mis:
Prompt N
10,5->L
For(K,1,N)
L + 3,5/K-L
End
Disp L
Mais mon programme me donne pas les bons résultats. Je voudrais savoir ou est mon erreur ?

[chan79]

Salut
Fais varier K de 3 à 32

[Black Jack]

Bonjour
j'ai un problème avec un exercice sur les suites. Voici l'énoncé :

Baptiste a un jeu de cartes de 7cm de longueur. Au lieu de les empiler les unes au-dessus des autres, il les décale de manière a ce que la pile reste en équilibre. Pour cela, il dispose une carte de manière a ce que son extrémité gauche soit á la verticale du centre de gravité des cartes situés au dessus d'elle.
Il aimerait connaitre la longueur maximale qu'il peut atteindre avec un jeu de 32 cartes. Après plusieurs essai, il conjecture que la longueur obtenue avec n cartes est: L(n)= 7 + 3,5(1 + (1/2) + (1/3) + ..... + (1/(n-1)) ) pour tout entier n supereur ou égal a 2.
Question:
1) Calculer L(32). J'ai mis: L(32)=21,095
2-a) Exprimer L(n) par récurrence. J'ai mis : L(n+1) = L(n) + 3,5/n et L(0)=10,5
2-b) Créer un algortithme pour effectuer le calcul de L(n) apres avoir demander n a l'utilisateur. J'ai mis:
Prompt N
10,5->L
For(K,1,N)
L + 3,5/K-L
End
Disp L
Mais mon programme me donne pas les bons résultats. Je voudrais savoir ou est mon erreur ?

Je suppose que tu as voulu écrire en dessous ???

Si, oui, alors il me semble qu'il y a un lézard.

En posant la 3eme carte, l'ensemble des 3 cartes semble stable MAIS ce n'est pas vrai, l'ensemble des 2 plus hautes va basculer par rapport à la carte du bas.

:zen:

[paquito]

Bonjour
j'ai un problème avec un exercice sur les suites. Voici l'énoncé :

Baptiste a un jeu de cartes de 7cm de longueur. Au lieu de les empiler les unes au-dessus des autres, il les décale de manière a ce que la pile reste en équilibre. Pour cela, il dispose une carte de manière a ce que son extrémité gauche soit á la verticale du centre de gravité des cartes situés au dessus d'elle.
Il aimerait connaitre la longueur maximale qu'il peut atteindre avec un jeu de 32 cartes. Après plusieurs essai, il conjecture que la longueur obtenue avec n cartes est: L(n)= 7 + 3,5(1 + (1/2) + (1/3) + ..... + (1/(n-1)) ) pour tout entier n supereur ou égal a 2.
Question:
1) Calculer L(32). J'ai mis: L(32)=21,095
2-a) Exprimer L(n) par récurrence. J'ai mis : L(n+1) = L(n) + 3,5/n et L(0)=10,5
2-b) Créer un algortithme pour effectuer le calcul de L(n) apres avoir demander n a l'utilisateur. J'ai mis:
Prompt N
10,5->L
For(K,1,N)
L + 3,5/K-L
End
Disp L
Mais mon programme me donne pas les bons résultats. Je voudrais savoir ou est mon erreur ?

D'abord, il faut initialise L à 7 (L(1)=7; ensuite tu programme For(K,1,N-1) et ça marche: L(1)=7, L(2)=10,5,......, L(32)=21,0953....., L(100)=25,1208......

[Black Jack]

Quitte à me répéter.

Je ne comprends pas l'intérêt d'un calcul qui ne correspond pas à la réalité physique du problème posé.

Mais il y a bien longtemps que plus rien ne m'étonne dans l'enseignement.

Le pont va craquer à la pose de la 3eme carte, même si d'aucuns ne savent pas pourquoi.

:zen:

[ortollj]

Bonjour
ca peut peut etre aider
Deja vu dans ce forum

le lien vers MIT dans le post n'etait plus valide !,le voici

[Black Jack]

Bonjour
ca peut peut etre aider
Deja vu dans ce forum

le lien vers MIT dans le post n'etait plus valide !,le voici

Même si cela a été présenté, cela reste une bêtise.

Voila la situation avec 3 briques (ou cartes).



a) Sur le dessin du haut, j'ai repéré le centre de gravité G des 3 briques, la verticale passant par G ne sort pas de la base de la brique du bas et donc un ensemble "solide" identique serait en équilibre (instable mais en équilibre quand-même)

MAIS les briques (ou les cartes ne sont pas solidaires, elles sont posées les unes une les autres (sans colle ou autre chose pour les solidariser), donc la condition a ci-dessus est une condition nécessaire pour la stabilité ... mais pas du tout une condition suffisante.

b)
Sur le dessin du bas, j'ai noté la position G1 du centre de gravité de l'ensemble des 2 briques supérieures. Et il est clair que la verticale passant par G1 passe en dehors de la partie posée de la base de la brique centrale. Et donc le machin va s'écrouler.
La brique du bas restera immobile, mais l'ensemble des 2 briques (ou cartes) du haut va basculer autour du coin supérieur droit de la brique qui est au sol.

N'est ce pas évident ?

:zen:

[nodjim]

Ton dessin ne va pas il me semble Blak Jack.
Sous la 1ère carte, on va mettre la seconde dont l'extrémité gauche coincide avec le centre de la carte au dessus. Ensuite, tu calcules le centre de gravité de ce groupe de 2 cartes, et tu viens mettre en dessous l'extrémité gauche de la carte 3.

[Tiruxa]

En effet, on "rajoute" la nouvelle brique au dessous , voir le schema
ici

On obtient la série harmonique qui a une limite infinie ce qui démontre que théoriquement on peut avoir un surplomb aussi grand que l'on veut.
théoriquement car la convergence est très lente (logarithme).

[Black Jack]

C'est du à mon esprit cartésien ...
qui voit mal comment ajouter des briques par "en dessous".

:zen:

[paquito]

C'est juste fait pour faire apparaître la série harmonique à partir d'un problème concret qui trouve une réponse théorique surprenante.
Par contre je pense que personne n'a essayé de le mettre en pratique; on sait très bien que physiquement, c'est du temps perdu (déjà, empiler les briques par le dessous,!)
Il y a d' autre énoncés un peu farfelu, qui ne serve qu'à faire intervenir la série harmonique, j'en connais un avec une tortue qui se déplace sur un tapis élastique très vicieux; dès que je l'aurais trouvé, je le posterais

[youkef-sne]

Oui merci beaucoup :-) mais je suis coincé pour la suite:
On me dit: On a une carte équilibré en son centre G et plus loin, un groupe de (n-1) carte s, identiques á la premère telle que le groupe a pour point d'équilibre x(n-1).
On me demande: ou se situe le centre de gravité de cet ensemble ?
En plaçant l'axe des abscisses parallèlement aux cartes et l'orogine a a la verticale du bord gauche de la carte du haut, quelle est la distance entre x(n-1) et l'abscisse du centre G de la n-ième carte ?

[ortollj]

C'est juste fait pour faire apparaître la série harmonique à partir d'un problème concret qui trouve une réponse théorique surprenante.
Par contre je pense que personne n'a essayé de le mettre en pratique; on sait très bien que physiquement, c'est du temps perdu (déjà, empiler les briques par le dessous,!)

as tu regardé la video jointe a 4 minutes ? :doh:

[youkef-sne]

as tu regardé la video jointe a 4 minutes ? :doh:

Non pourquoi ? :hein:

[youkef-sne]

Je vien de voir la vidéo de 4 min et je ne vois pas en quoi elle pourrait m'aider .

[Tiruxa]

En plaçant l'axe des abscisses parallèlement aux cartes et l'orogine a a la verticale du bord gauche de la carte du haut, quelle est la distance entre x(n-1) et l'abscisse du centre G de la n-ième carte ?

Puisque est confondu avec le bord de la n-ème carte cette distance est la moitié de la longueur de cette n-ème carte soit 3,5.

On en déduit que (comme dans la video) :

[Black Jack]

C'est juste fait pour faire apparaître la série harmonique à partir d'un problème concret qui trouve une réponse théorique surprenante.
Par contre je pense que personne n'a essayé de le mettre en pratique; on sait très bien que physiquement, c'est du temps perdu (déjà, empiler les briques par le dessous,!)
Il y a d' autre énoncés un peu farfelu, qui ne serve qu'à faire intervenir la série harmonique, j'en connais un avec une tortue qui se déplace sur un tapis élastique très vicieux; dès que je l'aurais trouvé, je le posterais

C'est peut-être ceci ou un équivalent.

Soit une limace se déplaçant uniformément à la vitesse de 1 m par jour.
Elle se déplace sur un élastique mesurant 1 km de long qui s'allonge uniformément d'1 km par jour .
Elle part donc d'un bout.

a) Parviendra t elle à l'autre bout ?
b) Si oui au bout de combien de temps ? Si non pourquoi ?

:zen:

[paquito]

C'est tout à fait équivalent à part que celui ci me semble très dur pour la limace!

Si Hn désigne la série harmonique, je trouve (sauf erreur de ma part) que Hn>=1000; donc normalement,
c'est possible, mais si l'on considère que Hn est équivalent à ln(n), on obtient comme ordre de grandeur de n, 1,97x10^474 ce qui fait quand même beaucoup!!!

[youkef-sne]

D'accord mais après on me demande de démontrer par récurrence que la longueur du paquet avec n cartes est:
L(n)=7+3,5(1 + (1/2) + (1/3) + ..... + (1/(n-1)) ) avec n >=2 en remarquant que L(n) = x(n-1) + 7 .
Comment faire ?

[Tiruxa]

D'accord mais après on me demande de démontrer par récurrence que la longueur du paquet avec n cartes est:
L(n)=7+3,5(1 + (1/2) + (1/3) + ..... + (1/(n-1)) ) avec n >=2 en remarquant que L(n) = x(n-1) + 7 .
Comment faire ?

Initialisation :
On vérifie que c'est vrai pour n égal à 2

Hérédité
Soit n un entier supérieur à 2
On admet que L(n)=7+3,5(1 + (1/2) + (1/3) + ..... + (1/(n-1)) )

On a L(n+1)=x(n)+7 (d'après la remarque)
Or x(n)=x(n-1)+3.5/n (démontré plus haut)
donc L(n+1)=x(n-1)+3.5/n +7
= L(n) +3.5/n, car on a x(n-1)+7=L(n) d'après la remarque
=7+3,5(1 + (1/2) + (1/3) + ..... + (1/(n-1)) )+3.5/n
=7+3,5(1 + (1/2) + (1/3) + ..... + (1/(n-1)) +(1/n))

On a démontré l'hérédité, la propriété est donc vraie pour tout entier n.