Suites par récurrence et minoré term S

[Anonyme]

Bonjour,
je bloque complétement sur un exercice, svp aidez moi: La suite (Un) est définie sur N par U0=4 et U(n+1)=(1/2)(Un+(9/Un)).

1) Etudier sur [3,+;)[ la fonction définie par f(x)=(1/2)(x+(9/x)). Sur cette question g trouvé qu'elle était croissante.
Mais mon réel problème se pose là, en fait je pensais d'abord chercher (Un) pour pouvoir ensuite démontrer la question suivante:
2) Montrer que la suite (Un) est minorée par 3.
Cela m'aiderai aussi pour la question suivante:
3) Etudier le sens de variation de (Un).
4) Montrer par récurrence que Un-3;)(1/2 exposant n)

J'espere que vous mettrez fin a mon supplice.
Merci D'avance.

[khivapia]

il faut faire une récurrence, avec l'étude de f tu dois sans doutes pouvoir montrer que f(x)>3 si x>3, auquel cas si Un>3, Un+1 = f(Un) >3... et le tour est joué.

Pour le sens de variation, il suffit de calculer, la minoration effectuée va sans doutes servir... Intuitivement je dirai qu'elle est décroissante.

Bon courage et bonne soirée.

[Anonyme]

Merci beaucoup je croi que je vais enfin trouver.
Bonne soirée a toi aussi

[Anonyme]

désolé mais je croi que je bloque pour trouver le sens de variation, y'a til qq'un pr m'aider SVP ???

[Galt]

Bonsoir
On a On applique f à cette inégalité (on peut car f est croissante sur l'intervalle et on obtient Or f est ainsi faite que et f(3)=3. On a donc On peut recommencer à appliquer f : (f est croissante), ce qui donne
On fait ainsi un raisonnement de proche en proche. Il n'est pas difficile de le transformer en récurrence.
Bonne chance

[Anonyme]

excuse moi mais je ne vois pas a kel question tu répond?

[Galt]

Ben à la question 2 :
Je montre que, pour tout n, , c'est à dire que est minorée par 3

[Anonyme]

En fait pr le 2 j'avais déja les réponses c pr ça que je comprenais pas, c la question 3 que je n'arrive pas a fr, trouver le sens de variation de (Un)......

[Galt]

Pour la suite, il faut étudier . Il y a une méthode générale dans ce cas :
et donc . On applique f (qui est croissante) à cette inégalité pour obtenir ce qui donne , puis on recommence.
On peut sans trop de peine transformer ce raisonnement en récurrence.
Pour la suite, on exprime en y faisant apparaître , puis récurrence.
Bonne chance

[talinumber]

Bonjour
Pour la question 3) Pourquoi faudait-il faire un raisonnement par récurrence?ne pourrait-on pas faire sans??
Merci

[Nicolas_75]

"Pour la question 3) Pourquoi faudait-il faire un raisonnement par récurrence?ne pourrait-on pas faire sans??"

On peut.
Pourquoi n'as-tu pas essayé la méthode basique consistant à étudier le signe de ? C'est quand même la moindre des choses...

Or est positif et minoré par 3.
Donc

Un peu d'initiative !

Nicolas