Suites numériques Terminal S

[toto59]

Bonjour a tous
Votre aide me sera tres précieuse, aprés beaucoup de temps passé je n'arrive toujours pas a bout de mon exercice.
Quelque chose doit bloquer... Pourtant a premier abord l'exercice n'as pas l'air plus compliqué qu'un autre..


On considere la suite (Un) definie par : U(o)=1
2U(n+1)= U(n) -1

1) Calculez les 5 premiers termes de la suite (Un)
2) Soit (Vn) la suite definie pour tout n appartenant au entier naturels par Vn=Un + a

a) Determiner a de telle maniere que la suite (Vn) soit une suite geométrique dont on precisera le premier terme et la raison.
b) En déduire les expressions de Vn et Un en fonction de n.
c) Etudier le sens de variation et la convergence de la suite (Un).
d) Determiner à la calculatrice le plus petit entier positif n tel que
|U(n) +1| <10^-4


Normalement la question 1 je l'ai..
Uo = 1
U1= 0
U2= -1/2
U3= -3/2
U4= -5/4
U5= -9/8

Est ce exact?

Je bute sur cette exercice car (a mon regret) zappé le chapitre sur les suites en premiere S; :mur:

Le plus embetant est que j'ai carément sous estimé l'exercice, resultat je me retourve tres (trop.. ;)) sérré niveau timing..

La vie est vraiment pas belle


Merci d'avance, si vous pouviez m'indiquer quelque pistes (surtout pour la n°2)

[toto59]

Je n'y arrive toujours pas !!!!! :cry:

[annick]

Bonjour,
Es-tu sûr de ton énoncé pour Un ?

D'autre part, tu as écrit "Determiner a de telle maniere que la suite (Vn) soit une suite geométrique dont on precisera le premier terme et la raison", mais que sont Vn et a ? Tu ne nous a pas tout donné

[toto59]

Houla, je devais etre bien fatigué quand j'ai recopié l'énoncé.

Normalement je l'ai édité tel qu'il est réelement ( avec Vn= Un + a )

Et 2U(n+1)= Un - 1 :stupid_in

Merci annick

[annick]

déjà pour la première question, je ne suis pas d'accord avec tes résultats pour
U3,U4,U5 : personnellement, je trouve -3/4, -7/8, -15/16

[toto59]

En effet, je suis completement en carton, j'ai refait les calculs et trouve bien

U1= 0
U2=-1/2
U3=-3/4
U4=-7/8
U5=-15/16

Ensuite, je trouve que la raison doit etre égale a 1/2 et a=1

car:

Vn= Un +a
V(n+1) = U(n+1) + a = (Un + a ) x q

q etant la raison de la suite geométrique Vn

Par identification par analogie on peu retrouver les valeur de a et de q



Ensuite, e, ce qui concerne la question ou il faut exprimer Vn en fonction de n, je trouve

Vn= Vo x 1/2

Cela me semble juste

Par contre je ne vois pas comment exprimer Un en fonction de n... :marteau:


Je pense que une foi que j'aurais l'expression de Un en fonction de n je pourrai terminer l'exercice..

Merci pour l'aide

[annick]

pour la question 2 a) tu as

Vn=Un+a et U(n+1)=(1/2)(Un-1)

Tu as donc
V(n+1)=U(n+1)+a=(1/2)(Un-1)+a=1/2Un -1/2+a

Pour que ta suite Vn soit géométrique, il faut qu'elle soit de la forme
V(n+1)=q(Vn) soit

1/2Un-1/2+a=q(Un+a)=qUn+qa

Tu trouves donc q=1/2 et -1/2+a=1/2a soit a=1

[annick]

Etourdi !!!

Vn=V0(q^n)
Tu peux calculer V0 car tu as U0 et a

Ensuite, Vn=Un+1 donc Un=Vn-1 tu viens d'exprimer Vn donc tu en déduis Un

[toto59]

Voila, pour ca il n'y a pas de probleme;

Le plus embetant pour moi est Un en fonction de n

Puisque (pour moi), Un ne semble etre ni arithmétique ni géométrique, donc je ne peux pas apliquer betement la formule du cour... snif

Une idée?

[annick]

je reprends ce que je viens de te dire :

Vn=V0(q^n)=2((1/2)^n)

Vn=Un+1 donc Un=Vn-1=2((1/2)^n)-1

En fait, ce type d'exo est toujours le même : tu as une suite Un qui n'est ni géométrique ni arithmétique. Tu utilises une suite Vn qui est géométrique donc tu peux calculer V, en fonction de n, puis revenir à Un et l'exprimer en fonction de n grâce à Vn

[toto59]

C'est impressinant comment cela parait evident une foi expliqué.
Enfin, ce n'ets qu'un impression...

Pour la question 2) c, je pense que on crée une fonction F(x)= 2x (1/2)^x) - 1 que l'on derive afin d'obtenir les variations de F. non?

En ce qui concerne la convergence, on sais que
Vn converge vers O puisque -1
Comme Vn= Un + 1

(Un) converge donc vers -1.

Est ce exact?

Par contre , pour les variations je ne suis pas trop sur de la manière de procéder...

[annick]

Donc tu as dû trouver Un=2(1/2)^n -1

Pour étudier les variations, je serai tentée de calculer U(n+1)-Un, ce qui fait

2(1/2)^(n+1)-1-2(1/2^n)+1=1/2^n-2(1/2)^n car 2(1/2^(n+1))=2/(2^(n+1))

Donc U(n+1)-Un=-(1/2)^n qui est toujours <0 donc U(n+1)

[annick]

et oui, Un tend bien vers -1

[toto59]

Bien joué le coup de la convergence; Je n'y ai pas pensé pourtant c'est uen des bases en la matiere...

En tout cas je te remerci pour toute ton aide apportée, cela me tire une sacré épine du pied .

Ca m'aura permis de connaitre un peu plus le sujet des suites.

Passe une bonne soirée Annik et encore merci, je vais dormir tranquille.

Demain, ds de math (les suites n'en feront pas partie). Normalement je le gère (étude de fonctions) .

Verra qui vivra ;)